Question

【題目】已知關于x的一元二次方程mx2﹣（m﹣1）x﹣1＝0．

（1）求證：這個一元二次方程總有兩個實數根；

（2）若二次函數y＝mx2﹣（m﹣1）x﹣1有最大值0，則m的值為　 　；

（3）若x1、x2是原方程的兩根，且＝2x1x2+1，求m的值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）-1；（3）m＝或m＝．

【解析】

（1）先計算判別式得到△＝（m+1）2，根據非負數的性質即可得到△≥0，于是利用判別式的意義即可得到結論；

（2）根據二次函數的性質得m＜0且＝0，然后解方程即可；

（3）先根據根與系數的關系得到x1+x2＝，x1x2＝﹣，再把＝2x1x2+1變形得到＝2x1x2+1，則＝2（﹣）+1，然后解關于m的方程即可．

（1）證明：m≠0，

△＝（m﹣1）2﹣4m×（﹣1）

＝（m+1）2，

∵（m+1）2≥0，即△≥0，

∴這個一元二次方程總有兩個實數根；

（2）解：∵二次函數y＝mx2﹣（m﹣1）x﹣1有最大值0，

∴m＜0且＝0，

∴m＝﹣1；

故答案為﹣1．

（3）解：x1+x2＝，x1x2＝﹣，

∵＝2x1x2+1，

∴＝2x1x2+1，

∴＝2（﹣）+1，

整理得m2+m﹣1＝0，

∴m＝或m＝．