Question

如圖1，在Rt△A′OB′中，∠B′A′0=90°，A′，B′兩點的坐標分別為（2，-1）和（0，-5），將A′0B′繞點O逆時針方向旋轉90°，使OB’落在x軸正半軸上，得△AOB，點A′的對應點是A，點B’的對應點是B．
（1）寫出A，B兩點的坐標，并求直線AB的解析式；
（2）如圖2，將△A0B沿垂直于x軸的線段CD折疊，（點C在x軸上，且不與點B重合，點D在線段AB上），使點B落在x軸上，對應點為點E，設點C的坐標為（x，0）．
①當x為何值時，線段DE平分△AOB的面積；
②是否存在這樣的點使得△AED為直角三角形？若存在，求出點C的坐標；若不存在，請說明理由．
③設△CDE與△AOB重疊部分的面積為S，直接寫出S與點C的橫坐標x之間的函數關系式（包括自變量x的取值范圍）．

Answer 1

分析：（1）根據旋轉的性質可知：A′的橫坐標實際是A點的縱坐標，A′的縱坐標的絕對值實際是A點橫坐標，由此可得出A點的坐標，同理可求出B點的坐標．已知了A、B的坐標，可用待定系數法求出直線AB的解析式．
（2）①當E點與O重合時，不難得出△EDB的面積＞

1

2

△AOB的面積，因此當線段DE平分△AOB的面積時，E在O點右側．可用x表示出BC，CD的值，進而可得求出△BDE的面積，然后根據其面積為△AOB面積的一半可得出一個關于x的方程，據此可求出x的值．
②本題要分情況進行討論：
一：當∠ADE=90°時，∠EDB=90°，顯然不成立；
二：當∠EAD=90°時，E，O重合，那么BE=BO，據此可求出x的值；
三：當∠AED=90°時，可過A作x軸的垂線，通過構建相似三角形來求出x的值．
③本題要分情況進行討論：
一：當

5

2

≤x＜5時，E在△AOB內，重合部分的面積就是△CDE的面積；
二：2≤x＜

5

2

時，E在△AOB外部，重合部分是個不規則的四邊形，設DE與OA交于P，那么重合部分的面積可用△CDE的面積減去△EOP的面積來求得．
綜上所述，即可求出不同x的取值范圍內S，x的函數關系式．

解答：解：（1）A（1，2），B（5，0），
設直線AB的解析式為y=kx+b，則有：

k+b=2 5k+b=0

，
解得：

k=- 1 2 b= 5 2

，
∴直線AB的解析式為y=-

1

2

x+

5

2

．

（2）①當x=

5

2

時，CD=y=

5-x

2

=

5

4

，S_△DEB=

1

2

×5×

5

4

=

25

8

＞3，
∴點E在O的右邊．
由題意，得：S_△DEB=

1

2

×2（5-x）×

5-x

2

=

5

2

，x=5+

5

（舍去），
∴x=5-

5

．
②當∠ADE=90°時，得∠DBE=∠DEB=45°，舍去，
當∠EAD=90°時，點E與點O重合，得x=

5

2

．
當∠AED=90°時，作AH⊥OB于H，證明△AHE∽△DCE，可得HE=1．
∴OE=2．
∴2+2（5-x）=5，x=

7

2

．

③當

5

2

≤x＜5時，S=

1

2

×（5-x）×

5-x

2

=

1

4

（x-5）²；
當2≤x＜

5

2

時，設DE、OA交于P，作PM⊥OB與M，設PM=h，則OM=

h

2

，EM=2h，OE=5-2x．
∴5-2x+

h

2

=2h，h=

2

3

（5-2x），
∴S=

1

2

×（5-x）×

5-x

2

-

1

2

×（5-2x）×

2

3

（5-2x）=-

13

12

x²+

25

6

x-

25

12

．

點評：本題主要考查了二次函數解析式的確定、圖形的翻折變換、圖形的面積求法等知識及綜合應用知識、解決問題的能力．