Question

如圖，已知四邊形ABCD是矩形，且MO=MD=4,MC=3.

(1)求直線BM的解析式;

(2)求過A、M、B三點的拋物線的解析式;

(3)在(2)中的拋物線上是否存在點P,使△PMB構成以BM為直角邊的直角三角形?若沒有,請說明理由;若有,則求出一個符合條件的P點的坐標.

Answer 1

解：(1)∵MO=MD=4,MC=3,

∴M、A、B的坐標分別為(0,4),(-4,0),(3,0)

  設BM的解析式為；

    則,∴BM的解析式為

(2)方法一：

設拋物線的解析式為

則，解得

  ∴

方法二：

設拋物線的解析式為

將M（0，4）的坐標代入得

∴

（3）設拋物線上存在點P,使△PMB構成直角三角形

方法一：分別過M、B作MB的垂線，它與拋物線的交點即為P點。

過M作MB的垂線與拋物線交于P，過P作PH⊥DC交于H，

∴∠PMB=90⁰，∴∠PMH=∠MBC，

∴△MPH∽△BMC，

∴PH：HM=CM：CB=3：4

  設HM=4(>0),則PH=3

  ∴P點的坐標為(-4,4-3)

將P點的坐標代入得:

4-3=

解得(舍出), ,

∴P點的坐標為()

類似的,如果過B作BM的垂線與拋物線交于點P,同樣可求得P的坐標為()

（3）方法二: 拋物線上存在點P,使△PMB構成直角三角形。

過M作MB的垂線與拋物線交于P，設P的坐標為,

由∠PMB=90⁰,∠PMD=∠MBC,

過P作PH⊥DC交于H,則MH= -，PH=4-

∴由得，

∴

∴，=0（舍出）

∴，∴P點的坐標為()

類似的,如果過B作BM的垂線與拋物線交于點P, 設P的坐標為,

同樣可求得，

由=，=3（舍出）

這時P的坐標為()。