Question

23、如圖，四邊形ABCD為正方形，E在CD上，∠DAE的平分線交CD于F，BG⊥AF于G，交AE于H．
（1）如圖，∠DEA=60°，求證：AH=DF；

（2）如圖，E是線段CD上（不與C、D重合）任一點，請問：AH與DF有何數量關系并證明你的結論；
（3）如圖，E是線段DC延長線上一點，若F是△ADE中與∠DAE相鄰的外角平分線與CD的交點，其它條件不變，請判斷AH與DF的數量關系（畫圖，直接寫出結論，不需證明）．

Answer 1

分析：（1）延長BG交AD于點S，由于AF是HAS的角的平分線，BS⊥AF故有∠HAG=∠SAG，∠HGA=SGA=90°，由AAS證得△AGH≌△AGS，可得AH=AS，再證得△ABS≌△DAF，即可得到DF=AS=AH．
（2）（3）證法相同．

解答：證明：（1）延長BG交AD于點S
∵AF是HAS的角的平分線，BS⊥AF
∴∠HAG=∠SAG，∠HGA=SGA=90°
又∵AG=AG
∴△AGH≌△AGS
∴AH=AS，
∵AB∥CD
∴∠AFD=∠BAG，
∵∠BAG+∠ABS=∠ABS+∠ASB=90°
∴∠BAG=∠ASB
∴∠ASB=∠AFD
又∵∠BAS=∠D=90°，AB=AD
∴△ABS≌△DAF
∴DF=AS
∴DF=AH．

（2）DF=AH．
同理可證DF=AH．

（3）DF=AH．

點評：本題利用了正方形的性質，全等三角形的判定和性質，同角的余角相等求解．注意三個小題的證明方法一樣．即不論點E在CD上還是DC的延長線上結果都一樣．