Question

如圖所示，△ABC和△ACD都是邊長為4厘米等邊三角形，兩個動點P，Q同時從A點出發，點P以1 厘米/秒的速度沿A→C→B的方向運動，點Q以2厘米/秒的速度沿A→B→C→D的方向運動，當點Q運動到D點時，P、Q兩點同時停止運動．設P、Q運動的時間為t秒時．解答下列問題：
（1）點P、Q從出發到相遇所用時間是______秒；
（2）在P、Q兩點運動過程中，當t取何值時，△APQ也是等邊三角形？并請說明理由；
（3）當0＜t＜2時，∠APQ始終是Rt∠，請畫出示意圖并說明理由．

Answer 1

解：（1）設點P、Q從出發到相遇所用時間是t，根據題意得：
t+2t=AC+AB+BC=12，
解得：t=4；
故答案為：4；

（2）如圖1：若△APQ是等邊三角形，
此時點P在BC上，點Q在CD上，且△ADQ≌△ACP，
則CP=DQ，即t-4=4-（2t-8），
解得：t=；

（3）如圖2所示：易得：AQ=2AP 又∠PAQ=60度，由對邊=斜邊一半 得∠AQP=90°，
即當0＜t＜2時，∠APQ始終是Rt∠．
分析：（1）根據相遇問題，由路程÷速度=時間建立等式求出t的值即可；
（2）根據若△APQ是等邊三角形，此時點P在BC上，點Q在CD上，且△ADQ≌△ACP，進而得出CP=DQ，求出即可；
（3）根據P，Q運動速度得出由對邊=斜邊一半 得∠AQP=90°求出即可．
點評：此題主要考查了等邊三角形的判定與性質以及全等三角形的判定與性質，根據已知圖形得出對應線段關系是解題關鍵．