Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，A（3，4），B（5，0），連結AO，AB．點C是線段AO上的動點（不與A，O重合），連結BC，以BC為直徑作⊙H，交x軸于點D，交AB于點E，連結CD，CE，過E作EF⊥x軸于F，交BC于G．

（1）AO的長為　 　，AB的長為　 　（直接寫出答案）

（2）求證：△ACE∽△BEF；

（3）若圓心H落在EF上，求BC的長；

（4）若△CEG是以CG為腰的等腰三角形，求點C的坐標．

Answer 1

【答案】（1）5，2；（2）見解析；（3）4；（4）（，），（，）

【解析】

（1）利用兩點間距離公式計算即可；

（2）根據兩角對應相等的兩個三角形相似即可判斷；

（3）當GC＝GE時，點G與點H重合，根據三角函數和勾股定理解答即可；

（4）分兩種情形畫出圖形,利用銳角三角函數和相似三角形的性質分別求解即可解決問題．

解：（1）∵A（3，4），B（5，0）．

∴OA＝＝5，OB＝5，AB＝．

故答案為：5；2．

（2）如圖1中，

∵OA＝OB＝5，

∴∠A＝∠EBF，

∵BC是直徑，

∴∠BEC＝∠AEC＝90°，

∵EF⊥OB，

∴∠EFB＝90°，

∴∠AEC＝∠EFB＝90°，

∴△ACE∽△BEF；

（3）如圖2中，當GC＝GE時，點G與點H重合，

∴GE＝GB＝GC，

∴∠GEB＝∠EBG，

∵∠GEB+∠ABO＝90°，

∴∠EBG+∠ABO＝90°，

∵OA＝OB，

∴∠A＝∠OBA，

∴∠A+∠EBG＝90°，

∴∠ACB＝90°，

∴BC⊥AO，

∴OC＝OBcos∠AOB，

∵A（3，4），OA=5，

∴cos∠AOB＝，

∴OC＝5×=3，

∴BC＝=；

（4）①如圖2中，當GC＝GE時，點G與點H重合，

∴GE＝GB＝GC，

∴∠GEB＝∠EBG，

∵∠GEB+∠ABO＝90°，

∴∠EBG+∠ABO＝90°，

∵OA＝OB，

∴∠A＝∠OBA，

∴∠A+∠EBG＝90°，

∴∠ACB＝90°，

∴BC⊥AO，

∵A（3，4），OA=5，

∴cos∠AOB＝，

∴OC＝OBcos∠AOB=5×＝3，

∴OD= OCcos∠AOB=3×＝，CD==，

∴C（，）．

②如圖3中，當CE＝CG時，作AK⊥OB于K．設CD＝4k，OD＝3k．

∵A（3，4），B（5，0），

∴AK=4，OK=3，OB=5，BK=2，

∵CE＝CG，

∴∠CEG＝∠CGE＝∠BGF，

∵∠CEG+∠BEF＝90°，∠BGF+∠CBD＝90°，

∴∠CBD＝∠BEF，

∵EF⊥OB，AK⊥OB，

∴EF∥AK，

∴∠BEF＝∠BAK，

∴∠CBD＝∠BAK，

∵∠CDB＝∠AKB＝90°，

∴△CBD∽△BAK，

∴，

∴，

∴k＝，

∴C（，）．