Question

對四邊形的觀察與探索

　　四邊形是大家最熟悉的圖形之一，我們已經發現了它的許多性質．只要善于觀察、樂于探索，我們還會發現更多的結論．

　　問題的提出：四邊形一條對角線上任意一點與另外兩個頂點的連線，將四邊形分成四個三角形，其中相對的兩對三角形的面積之積有何關系？你能探索出結論嗎？

(1)為了更直觀的發現問題，我們不妨先在特殊的四邊形－－平行四邊形中，研究這個問題：

已知：在ABCD中，O是對角線BD上任意一點(如圖)，求證：S_△OBC·S_△OAD＝S_△OAB·S_△OCD

(2)有了(1)中的探索過程作參照，你一定能類比出在一般四邊形(如圖)中，解決問題的辦法了吧！填寫結論并寫出證明過程．

已知：在四邊形ABCD中，O是對角線BD上任意一點(如圖)

求證：________________

(3)在三角形中(如圖)，你能否歸納出類似的結論？若能，用文字敘述你歸納出的結論，并寫出已知、求證和證明過程；若不能，說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)證明：如圖，分別過點A、C作AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，則有 　　S△OBC＝·OB·CF，S△OAD＝·OD·AE， 　　S△OAB＝·OB·AE，S△OCD＝·OD·CF， 　　∴S△OBC·S△OAD＝·OB·OD·CF·AE， 　　S△OAB·S△OCD＝·OB·OD·CF·AE， 　　∴S△OBC·S△OAD＝S△OAB·S△OCD． 　　(2)結論：S△OBC·S△OAD＝S△OAB·S△OCD． 　　證明：如圖，分別過點A、C作AE⊥DB交DB的延長線于E，CF⊥BD于F，則有： 　　S△OBC＝·OB·CF，S△OAD＝·OD·AE， 　　S△OAB＝·OB·AE，S△OCD＝·OD·CF， 　　∴S△OBC·S△OAD＝·OB·OD·CF·AE， 　　S△OAB·S△OCD＝·OB·OD·CF·AE， 　　∴S△OBC·S△OAD＝S△OAB·S△OCD． 　　(3)答：能． 　　從三角形的一個頂點與對邊上任意一點的連線上任取一點，與三角形的另外兩個頂點的連線，將三角形分成四個小三角形，其中相對兩對三角形的面積之積相等． 　　即：S△OBC·S△OAD＝S△OAB·S△OCD． 　　已知：在△ABC中，D為AC上任一點，O為BD上任一點． 　　求證：S△OBC·S△OAD＝S△OAB·S△OCD． 　　證明：如圖，分別過點A、C，作AE⊥DB，交BD的延長線于E，CF⊥BD于F，則有： 　　S△OBC＝·OB·CF，S△OAD＝·OD·AE， 　　S△OAB＝·OB·AE，S△OCD＝·OD·CF， 　　∴S△OBC·S△OAD＝·OB·OD·CF·AE， 　　S△OAB·S△OCB＝·OB·OD·CF·AE， 　　S△OBC·S△OAD＝S△OAB·S△OCD．