Question

【題目】已知△ABC中，∠B= 60°，點D是AB邊上的動點，過點D作DE∥BC交AC于點E，將△ABE沿DE折疊，點A對應點為F點.

(1)如圖1，當點F恰好落在BC邊上，求證：△BDF是等邊三角形；

(2)如圖2，當點F恰好落在△ABC內，且DF的延長線恰好經過點C，CF=EF，求∠A的大��；

(3)如圖3，當點F恰好落在△ABC外，DF交BC于點G，連接BF，若BF⊥AB，AB=9，求BG的長.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）40°（3）3

【解析】

（1）根據DE∥BC，∠B=60°得到∠ADE=∠B=60°，根據折疊的性質得到∠FDE=∠ADE=60°，從而得到△BDF 是等邊三角形

（2）根據CF=EF ，設∠FCE=∠FEC=x，則∠DFE=∠FCE+∠FEC=2x，根據折疊得到∠A=∠DFE=2x ，再由（1）同理可得到△BDC 是等邊三角形，再利用△ABC內角和即可列出方程求解

（3）同（1）可得△BDG 是等邊三角形，根據BF⊥AB 得到∠BFD=30°，得BD=DF，再根據折疊的性質得到DF=AD，故BD=AD=AB=×9=3，即可求出BG的長.

（1）證明：∵DE∥BC，∠B=60°

∴∠ADE=∠B=60°

∵△ADE 沿 DE 折疊得到△DEF

∴∠FDE=∠ADE=60°

∴∠BDF=180°-60°-60°=60°

在△BDF 中，∠B=∠BDF=60°

∴△BDF 是等邊三角形.

（2）解：∵CF=EF

∴設∠FCE=∠FEC=x，則∠DFE=∠FCE+∠FEC=2x

∵△ADE 沿 DE 折疊得到△DEF

∴∠A=∠DFE=2x

同（1）可得△BDC 是等邊三角形

∴∠BCD=60°

在△ABC 中，∠A+∠B+∠BCA=180° ∴2x＋60°＋（60°＋x）=180° 解得：x=20°

∴∠A=2x=40°.

（3）解：同（1）可得△BDG 是等邊三角形

∴∠BDG=60°，BG=BD

∵BF⊥AB

∴∠DBF=90°

∴∠BFD=90°－60°=30°

∴BD=DF

又∵△ADE 沿 DE 折疊得到△DEF

∴DF=AD

∴BD=AD=AB=×9=3

∴BG=3.