Question

如圖1、2、3、…、n，M、N分別是⊙O的內接正三角形ABC、正方形ABCD、正五邊形ABCDE、…、正n邊形ABCDE…的邊AB、BC上的點，且BM=CN，連接OM、ON．

（1）求圖1中∠MON的度數；
（2）圖2中∠MON的度數是

 

，圖3中∠MON的度數是

 

；
（3）試探究∠MON的度數與正n邊形邊數n的關系（直接寫出答案）．

Answer 1

分析：（1）先分別連接OB、OC，可求出∠BOM=∠NOC，故∠MON=∠BOC，再由圓周角定理即可求出∠BOC=120°；
（2）同（1）即可解答；
（3）由（1）、（2）找出規律，即可解答．

解答：解：分別連接OB、OC，
（1）∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵OC=OB，O是外接圓的圓心，
∴CO平分∠ACB
∴∠OBC=∠OCB=30°，
∴∠OBM=∠OCN=30°，
∵BM=CN，OC=OB，
∴△OMB≌△ONC，
∴∠BOM=∠NOC，
∵∠BAC=60°，
∴∠BOC=120°；
∴∠MON=∠BOC=120°；

（2）同（1）可得∠MON的度數是90°，圖3中∠MON的度數是72°；

（3）由（1）可知，∠MON=

360°

3

=120°；在（2）中，∠MON=

360°

4

=90°；在（3）中∠MON=

360°

5

=72°…，
故當n時，∠MON=

360°

n

．

點評：本題考查的是正多邊形和圓，根據題意作出輔助線，構造出全等三角形是解答此題的關鍵．