Question

已知：如圖，△ABC中，AB=AC=5，BC=6，以AB為直徑作⊙O交AC于點D，交BC于點E，EF⊥AC于F交AB的延長線于G．
（1）求證：FG是⊙O的切線；
（2）求AD的長．

Answer 1

（1）證明：連接OE．

∵OE=OB（⊙O的半徑），
∴∠ABE=∠OEB（等邊對等角）；
∵AB=AC（已知），
∴∠ABE=∠ACB=∠OEB（等量代換），∠BEG=∠FEC（對頂角相等），
∵EF⊥AC（已知），
∴∠FEC+∠ACB=90°，∠OEB+∠BEG=90°=∠OEG，
∴OE⊥FG，即FG是切線；

（2）解：∵OE⊥FG，EF⊥AC，
∴OE∥AC，
∵AB為⊙O的直徑，
∴點E為BC的中點，
∵BC=6，
∴CE=3，
∵CD•CA=CE•CB，
∴5CD=3×6，
解得CD=，
∴AD=AC-CD=5-=．
分析：（1）連接OE．欲證明FG是⊙O的切線，只需證明OE⊥FG即可；
（2）由（1）得出OE∥AC，則點E為BC的中點，再由割線定理得出CD的長，即可求出AD．
點評：本題考查了切線的判定和性質、等腰三角形的性質、勾股定理以及切割線定理，是基礎知識要熟練掌握．