Question

（2013•德惠市二模）【觀察與發展】等邊三角形OAB和等邊三角形OCD如圖①放置，發現△OAC≌△OBD．
【畫圖與推廣】如果將圖①中的等邊三角形OAB和等邊三角形OCD換為等腰三角形OAB和等腰三角形OCD，且它們的頂角∠AOB和∠COD相等，△OAC和△OBD是否全等？在圖②中畫出圖形并說明理由．
【類比與應用】將圖①中的等邊三角形OAB和等邊三角形OCD換為正方形OAEB和正方形OCFD如圖③所示，若正方形OAEB的邊長為3，求陰影部分圖形的面積．

Answer 1

分析：求出∠AOC=∠BOD，根據OA=OB，OC=OD，根據全等三角形的判定推出△AOC≌△BOD即可．求出△AOC≌△BOD，得出兩三角形面積相等，即可得出陰影部分的面積等于正方形OAEB的面積，求出即可．

解答：解：△OAC≌△OBD，如圖，
理由是：∵∠AOB=∠COD，
∴∠AOB-∠BOC=∠COD-∠BOC，
∴∠BOD=∠AOC，
∵AO=OB，OC=OD，
在△OAC和△BOD中，

AO=OB ∠AOC=∠BOD OC=OD

，
∴△OAC≌△OBD（SAS）．

∵四邊形OAEB和四邊形OCFD是正方形，
∴OC=OD，OB=OA，∠COD=∠AOB=90°，
∴∠BOD=∠AOC，
在△OAC和△BOD中，

AO=OB ∠AOC=∠BOD OC=OD

，
∴△OAC≌△OBD（SAS），
∴△AOC和△BOD的面積相等，
∴陰影部分的面積等于正方形OAEB的面積，是3²=9，
即陰影部分圖形的面積是9．

點評：本題考查了等腰三角形性質，正方形性質，全等三角形的判定的應用，題目具有一定的代表性，證明過程類似．