Question

【題目】如圖，四邊形ABCD為⊙O的內接四邊形，且對角線AC為直徑，AD＝BC，過點D作DG⊥AC，垂足為E，DG分別與AB，⊙O及CB延長線交于點F、G、M．

（1）求證：四邊形ABCD為矩形；

（2）若N為MF中點，求證：NB是⊙O的切線；

（3）若F為GE中點，且DE＝6，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）⊙O的半徑是．

【解析】

（1）根據AC為⊙O直徑，得到∠ADC＝∠CBA＝90°，通過全等三角形得到CD＝AB，推出四邊形ABCD是平行四邊形，根據矩形的判定定理得到結論；

（2）根據直角三角形的性質得到NB＝MF＝NF，根據等腰三角形的性質和余角的性質即可得到NB是⊙O的切線；

（3）根據垂徑定理得到DE＝GE＝6，根據四邊形ABCD是矩形，得到∠BAD＝90°，根據余角的性質得到∠FAE＝∠ADE，推出△AEF∽△DEA，根據相似三角形的性質列比例式得到AE＝3，連接OD，設⊙O的半徑為r，根據勾股定理列方程即可得到結論．

解：（1）∵AC為⊙O直徑，

∴∠ADC＝∠CBA＝90°，

在Rt△ADC與Rt△CBA中，，

∴Rt△ADC≌Rt△CBA，

∴CD＝AB，

∵AD＝BC，

∴四邊形ABCD是平行四邊形，

∵∠CBA＝90°，

∴四邊形ABCD是矩形；

（2）連接OB，

∵∠MBF＝∠ABC＝90°，

∴NB＝MF＝NF，

∴∠1＝∠2，

∵∠2＝∠3，

∴∠1＝∠3，

∵OB＝OA，

∴∠5＝∠4，

∵DG⊥AC，

∴∠AEF＝90°，

∴∠3+∠4＝90°，

∴∠1+∠5＝90°，

∴OB⊥NB，

∴NB是⊙O的切線；

（3）∵AC為⊙O直徑，AC⊥DG，

∴DE＝GE＝6，

∵F為GE中點，

∴EF＝GF＝3，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠BAD＝90°，

∴∠FAE+∠DAE＝90°，

∵∠ADE+∠DAE＝90°，

∴∠FAE＝∠ADE，

∵∠AEF＝∠DEA＝90°，

∴△AEF∽△DEA，

∴，

∴AE＝3，

連接OD，設⊙O的半徑為r，

∴OA＝OD＝r，OE＝r﹣3，

∵OE2+DE2＝OD2，

∴（r﹣3）2+62＝r2，

∴r＝，

∴⊙O的半徑是．