Question

【題目】如圖，拋物線經過A（，0），B（，0），C（0，2）三點．

（1）求拋物線的解析式；

（2）在直線AC下方的拋物線上有一點D，使得△DCA的面積最大，求點D的坐標；

（3）設點M是拋物線的頂點，試判斷拋物線上是否存在點H滿足？若存在，請求出點H的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）D（-1，-1）；（3）（，）．

【解析】

試題分析：（1）根據待定系數法，可得拋物線的解析式；

（2）根據圖形的割補法，可得面積的和差，根據二次函數的性質，可得答案；

（3）根據余角的性質，可得∠AMN=∠NKM，根據相似三角形的判定與性質，可得，根據解方程組，可得H點坐標．

試題解析：（1）設拋物線的解析式為，將A（﹣2，0），B（，0）代入解析式，得：，解得：．∴拋物線的解析式是；

（2）由題意可求得AC的解析式為，如圖1，設D點的坐標為（t，），過D作DE⊥x軸交AC于E點，∴E點的坐標為（t，t+2），DE=，用h表示點C到線段DE所在直線的距離，

=，∵﹣2＜t＜0，

∴當t=﹣1時，△DCA的面積最大，此時D點的坐標為（﹣1，﹣1）；

（3）存在點H滿足∠AMH=90°，由（1）知M點的坐標為（，），如圖2：作MH⊥AM交x軸于點K（x，0），作MN⊥x軸于點N，∵∠AMN+∠KMA=90°，∠NKM+∠KMN=90°，∴∠AMN=∠NKM．∵∠ANM=∠MNK，∴△AMN∽△MKN，∴，∴=ANNK，∴，解得，∴K點坐標為（，0），∴直線MK的解析式為，∴，把①代入②，化簡得．△=﹣4×48×55=64×4=256＞0，∴，，將代入，解得，∴直線MN與拋物線有兩個交點M、H，∴拋物線上存在點H，滿足∠AMH=90°，此時點H的坐標為（，）．