Question

如圖，在△ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5．點P從點B出發，以每秒1個單位長度沿B→C→A→B的方向運動；點Q從點C出發，以每秒2個單位沿C→A→B方向的運動，到達點B后立即原速返回，若P、Q兩點同時運動，相遇后同時停止，設運動時間為t秒．

（1）當t=　   　時，點P與點Q相遇；
（2）在點P從點B到點C的運動過程中，當ι為何值時，△PCQ為等腰三角形？
（3）在點Q從點B返回點A的運動過程中，設△PCQ的面積為s平方單位．
①求s與ι之間的函數關系式；
②當s最大時，過點P作直線交AB于點D，將△ABC中沿直線PD折疊，使點A落在直線PC上，求折疊后的
△APD與△PCQ重疊部分的面積．

Answer 1

解：（1）7。
（2）點P從B到C的時間是3秒，此時點Q在AB上，則
當時，點P在BC上，點Q在CA上，若△PCQ為等腰三角形，則一定為等腰直角三角形，有：PC=CQ，即3﹣t=2t，解得：t=1。
當時，點P在BC上，點Q在AB上，若△PCQ為等腰三角形，則一定有PQ=PC（如圖1），則點Q在PC的中垂線上。

作QH⊥AC，則QH=PC，△AQH∽△ABC，
在Rt△AQH中，AQ=2t﹣4，
則。
∵PC=BC﹣BP=3﹣t，
∴，解得：。
綜上所述，在點P從點B到點C的運動過程中，當t=1或時，△PCQ為等腰三角形。
（3）在點Q從點B返回點A的運動過程中，P一定在AC上，
則PC=t﹣3，BQ=2t﹣9，即。
同（2）可得：△PCQ中，PC邊上的高是：，
∴。
∴當t=5時，s有最大值，此時，P是AC的中點（如圖2）。
∵沿直線PD折疊，使點A落在直線PC上，
∴PD一定是AC的中垂線。
∴AP=CP=AC=2，PD=BC=。
∴AQ=14﹣2t=14﹣2×5=4。
如圖2，連接DC（即AD的折疊線）交PQ于點O，過Q作QE⊥CA于點E，過O作OF⊥CA于點F，則△PCO即為折疊后的△APD與△PCQ重疊部分的面積。

則QE=AQ=×4=，EA=AQ=×4=。
∴EP=，CE=。
設FP=x，FO=y，則CF=。
由△CFO∽△CPD得，即，∴。
由△PFO∽△PEQ得，即，∴。解得：。
∴△PCO即為折疊后的△APD與△PCQ重疊部分的面積。

試題分析：（1）首先利用勾股定理求得AC的長度，點P與點Q相遇一定是在P由B到A的過程中，利用方程即可求得：
在Rt△ABC中，∵∠C=90°，BC=3，AB=5，∴根據勾股定理得AC=4。
則Q從C到B經過的路程是9，需要的時間是4.5秒，此時P運動的路程是4.5，P和Q之間的距離是：3+4+5﹣4.5=7.5。
根據題意得：，解得：t=7。
（2）因為點P從B到C的時間是3秒，此時點Q在AB上，所以分（點P在BC上，點Q在CA上）和（點P在BC上，點Q在AB上）兩種情況進行討論求得t的值。
（3）在點Q從點B返回點A的運動過程中，P一定在AC上，則PC的長度是t﹣3，然后利用相似三角形的性質即可利用t表示出s的值，然后利用二次函數的性質即可求得s最大時t的值，此時，P是AC的中點，直線PD折疊，使點A落在直線PC上，則PD一定是AC的中垂線。因此，連接DC（即AD的折疊線）交PQ于點O，過Q作QE⊥CA于點E，過O作OF⊥CA于點F，則△PCO即為折疊后的△APD與△PCQ重疊部分的面積。應用△CFO∽△CPD和△PFO∽△PEQ得比例式求出OF的長即可求得△PCO即為折疊后的△APD與△PCQ重疊部分的面積。