Question

如圖，已知⊙O₁與⊙O₂相交于A、B兩點，連心線O₁O₂交⊙O₁于C、D兩點，直線CA交⊙O₂于點P，直線PD交⊙O₁于點Q，且CP∥QB，求證：AC=AP．

Answer 1

證明：連接AD，AB，
∵⊙O₁與⊙O₂相交于A、B兩點，
∴O₁O₂⊥AB，=，
∴∠C=∠Q，
∵CP∥QB，
∴∠Q=∠P，
∴∠P=∠C，
∴CD=PD，
∵CD是⊙O₁的直徑，
∴∠CAD=90°，
即DA⊥PC，
∴AC=AP．
分析：連接AD，AB，先根據相交兩圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦，得出O₁O₂⊥AB，由垂徑定理得出弧AD=弧BD，由圓周角定理得出∠ACD=∠BCD，則∠BQD=∠ACD；又CP∥QB，根據平行線的性質得出∠BQD=∠APD，則∠APD=∠ACD，由等腰三角形的判定即可證明出AC=AP．
點評：本題綜合考查了相交兩圓的性質，圓周角定理，平行線的判定，等腰三角形的判定等知識，綜合性較強，有一定難度，正確作出輔助線是解題的關鍵．