Question

【題目】如圖，已知 是 的直徑，過點 作弦 的平行線，交過點 的切線 于點 ，連結 ．

（1）求證： ；
（2）若 ， ，求 的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵BC∥OP，
∴∠AOP=∠B，
∵AB是直徑，
∴∠C=90°，
∵PA是⊙ O 的切線，切點為A，
∴∠OAP=90°，
∴∠C=∠OAP，
∴△ABC∽△POA

（2）解：∵ ，

∴ ，

∴ ,

∴OA=2,AB=4

∴ ，

∴ ,

【解析】（1）根據已知BC∥OP，得出∠AOP=∠B，再根據AB是直徑，PA是⊙ O 的切線，得出∠C=∠OAP，根據兩組對應角相等的兩三角形相似，即可證得結論。
（2）根據OB的長，就可求出AB的長，再根據△ABC∽△POA ，得出對應邊成比例，即可求出BC的長。
【考點精析】利用圓周角定理和切線的性質定理對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知頂點在圓心上的角叫做圓心角;頂點在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個交點的角叫做圓周角;一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半；切線的性質：1、經過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經過切點垂直于切線的直線必經過圓心3、圓的切線垂直于經過切點的半徑．