Question

【題目】如圖1，在正方形ABCD中，點O是對角線AC，BD的交點，點E在BC邊上(點E不和BC的端點重合)，且BE＝BC，連接AE交OB于點F，過點B作AE的垂線BG交OC于點G，連接GE．

（1）求證：OF＝OG；

（2）用含的代數式表示tan∠OBG的值；

（3）如圖2，當∠GEC＝90°時，求的值．

Answer 1

【答案】（1） 證明見解析；（2）；（3）．

【解析】

（1）由正方形的性質可得AO＝BO，AC⊥BD，由余角的性質可得∠FAO＝∠FBG，由“ASA”可證△AOF≌△BOG，可得OF＝OG；

（2）根據第一問條件推導出FG∥BC∥AD，從而由平行線分線段成比例得到，通過已知條件可推斷AG＝GC，設GC＝，并表示其他線段即可解決問題；

（3）根據第二問結論，使OG用OC來表示，進而使GC用BC來表示，另根據BE＝BC可得EC＝BC，從而用BC表示CG，列出方程即可解決問題.

解：（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，

∴OA＝OB，AO⊥BO，

由∵AE⊥BG，∴∠OAF＝∠OBG，

∴Rt△AOF≌Rt△BOG，

∴OF＝OG；

（2）

連接FG，

∵OF＝OG，AC⊥BD，

∴∠OGF＝45°＝∠OCB，∴FG∥BC∥AD，

∴，

∵BE＝BC＝AD，

∴AG＝GC，

設GC＝，則AG＝，AC＝，

∴OB＝OC＝AC＝，

OG＝OC－GC＝，

∴tan∠OBG＝＝；

（3）解：如圖，

當∠GEC＝90°時，∵∠GCE＝45°，

∴△GEC是等腰直角三角形，

∴GC＝EC，

∵tan∠OBG＝＝，

∴OG＝OB＝OC，

∴GC＝OC－OG＝OC

＝BC，

又∵BE＝BC，

∴EC＝BC－BE＝BC，

∴BC＝BC，

即：，

解得：或(舍去)，

故．