Question

【題目】如圖，已知點是外一點，直線與相切于點，直線分別交于點、，，交于點．

（1）求證：；

（2）當的半徑為，時，求的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）21．

【解析】

（1）連接OB，由切線的性質可得OB⊥PA，然后根據直徑所對的圓周角為直角得到∠CBD=90°，再根據等角的余角相等推出∠BCD=∠BOA，由等量代換得到∠CBO=∠BOA，即可證平行；

（2）先由勾股定理求出BD，然后由垂徑定理得到DE，求出OE，再利用△ABE∽△DOE的對應邊成比例，即可求出AE．

（1）如圖，連接OB，

∵直線PA與相切于點B，

∴OB⊥PA，

∴∠PAO+∠BOA=90°

∵CD是的直徑

∴∠CBD=90°，∠PDB+∠BCD=90°

又∵∠PAO=∠PDB

∴∠BOA=∠BCD

∵OB=OC

∴∠BCD=∠CBO

∴∠CBO=∠BOA

∴OA∥BC

（2）∵半徑為10，，

∴BD=

由（1）可知∠CBD=90°，OA∥BC

∴OE⊥BD

∴是的中點，DE=BD=

∴

∵，

∴，

∴，即

∴．