Question

【題目】已知△ABC是等邊三角形，點D，E分別為邊AB，AC上的點，且有AE＝DB，連接DE，DC．

（1）如圖1，若AB＝6，∠DEC＝90°，求△DEC的面積．

（2）M為DE中點，當D，E分別為AB、AC的中點時，判定CD，AM的數量關系并說明理由．

（3）如圖2，M為DE中點，當D，E分別為AB，AC上的動點時，判定CD，AM的數量關系并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）S△DEC＝4；（2）CD＝2AM．理由見解析；（3）CD＝2AM．理由見解析.

【解析】

（1）如圖1中，設AE=BD=x．證明AD=2AE=2x，構建方程求出x即可解決問題；

（2）利用等邊三角形的性質判斷出CD與BC的關系，再判斷出△ADE是等邊三角形，進而判斷出AM與BC關系即可得出結論；

（3）先判斷出△BDF是等邊三角形，進而得出四邊形ADFE是平行四邊形，再利用全等三角形的性質得出AF=CD即可得出結論.

（1）如圖1中，設AE＝BD＝x．

∵△ABC是等邊三角形，

∴∠A＝60°，

∵∠DEC＝∠AED＝90°，

∴∠ADE＝30°，

∴AD＝2AE＝2x，DE＝AE＝x，

∵AB＝6，

∴x+2x＝6，

∴x＝2，

∴AE＝2，EC＝4，DE＝2，

∴S△DEC＝DEEC＝×2×4＝4．

（2）結論：CD＝2AM．

理由：如圖2中，

∵AB＝AC，∠BAC＝60°，

∴△ABC是等邊三角形，

∵點D是AB的中點，

∴CD＝BC，

∵點D，E是AB，AC的中點，

∴AD＝AB，AE＝AC，

∴AD＝AE，

∵∠BAC＝60°，

∴△ADE是等邊三角形，

∵點M是DE的中點，

∴AM＝AD＝AB＝BC，

∴CD＝2AM，

故答案為：CD＝2AM，

（3）結論：CD＝2AM．

理由：如圖2中，過點D作DF∥AC交BC于F，連接EF，AF．

∴∠BDF＝∠BAC＝60°，

∵AB＝AC，∠BAC＝60°，

∴△ABC是等邊三角形，

∴∠ABC＝60°，

∴△BDF是等邊三角形，

∴DF＝BD，

∵BD＝AE，

∴DF＝AE，

∵DF∥AE，

∴四邊形ADFE是平行四邊形，

∴AF必過DE的中點，

∵點M是DE的中點，

∴AF過DE的中點，

∴AF＝2AM，

在△ABF和△CBD中，

，

∴△ABF≌△CBD（SAS），

∴AF＝CD，

∴CD＝2AM.