Question

如圖，一塊直角三角板的直角頂點P放在正方形ABCD的BC邊上，并且使一條直角邊經過點D，另一條直角邊與AB交于點Q．
（1）請你寫出一對相似三角形，并加以證明；
（2）當點P滿足什么條件時，PD=3PQ，請證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）根據正方形推出∠B=∠C=∠QPD=90°，求出∠DPC=∠PQB，證△BPQ和△CDP相似即可；
（2）根據相似得到比例式，把PD=3PQ代入求出即可．

解答：解：（1）△BPQ∽△CDP，
證明：∵正方形ABCD，
∴∠B=∠C=90°，
∵∠QPD=90°，
∴∠QPB+∠BQP=90°，
∠QPB+∠DPC=90°，
∴∠DPC=∠PQB，
∴△BPQ∽△CDP．

（2）P為BC的三等分點時，PD=3PQ．
證明：∵△BPQ∽△CDP
∴

PQ

PD

=

BP

CD

，
要使PD=3PQ，即

PQ

PD

=

BP

CD

=

1

3

∴BP=

1

3

CD
即P為BC的三等分點時，PD=3PQ．

點評：本題主要考查對相似三角形的性質和判定，正方形的性質，三角形的內角和定理，鄰補角等知識點的理解和掌握，能求出△BPQ∽△CDP是解此題的關鍵．