Question

【題目】菱形ABCD中，AB＝4，∠ABC＝60°，∠EAF的兩邊分別與射線CB、DC相交于點E、F，且∠EAF＝60°

（1）如圖1，當點E是CB上任意一點時（點E不與B、C重合），求證：BE＝CF；

（2）如圖2，當點E在CB的延長線上時，且∠EAB＝15°，求點F到BC的距離．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）點F到BC的距離為3．

【解析】

（1）連接AC，根據題意分析得出∠BAE＝∠CAF，AB=AC，∠B=∠ACF，最后通過求出△BAE△CAF來證明結論即可；

（2）過點A作AG⊥BC于點G，過點F作FH⊥EC于點H，利用直角三角形性質求出AG、BG的長由此進一步得出BE的長，最后在Rt△CHF中利用三角函數進一步求出FH的長即可求出答案.

（1）證明：如圖1，連接AC，

∵四邊形ABCD為菱形，

∴AB=BC，AB∥CD，

∵∠ABC=60°，

∴△ABC為等邊三角形，

∴AB=AC，∠BAC=60°，

∵AB∥CD，

∴∠BAC=∠ACD=60°，

∴∠B=∠ACF，

又∵∠BAC＝∠EAF＝60°，

∴∠BAE＝∠CAF，

在△BAE和△CAF中，

∵，

∴△BAE△CAF，

∴BE＝CF；

（2）如圖2，過點A作AG⊥BC于點G，過點F作FH⊥EC于點H，

∵∠EAB＝15°，∠ABC＝60°，

∴∠AEB＝45°，

在Rt△AGB中，

∵∠ABC＝60°，AB＝4，

∴BG＝AB＝2，AG＝BG＝2，

在Rt△AEG中，

∵∠AEG＝∠EAG＝45°，

∴AG＝GE＝2，

∴EB＝EGBG＝22，

∵四邊形ABCD為菱形，

∴AB∥CD，AB=BC，

∴∠ABC=∠ECF=60°，

在△ABC中，AB=BC，∠ABC=60°，

∴△ABC為等邊三角形，

∴AB=AC，∠ACB=∠BAC=60°，

∴∠ACF=∠ACB+∠ECF=120°，

∵∠ABC＝60°，

∴∠ABE=120°，

∴∠ACF=∠ABE，

∵∠EAF=∠EAB+∠BAF=60°，∠BAC=∠CAF+∠BAF=60°，

∴∠EAB=∠FAC，

在△AEB與△AFC中，

∵∠EAB=∠FAC，AB=AC，∠ABE=∠ACF，

∴△AEB△AFC，

∴AE＝AF，EB＝CF＝22，

在Rt△CHF中，∵∠HCF＝180°﹣∠BCD＝60°，CF＝22，

∴FH＝CFsin60°＝(22)＝3．

∴點F到BC的距離為3．