Question

【題目】對于平面直角坐標系xOy中的點P和⊙C，給出如下定義：若⊙C上存在點A，使得∠APC＝30°，則稱P為⊙C的半角關聯點．

當⊙O的半徑為1時，

（1）在點D（，﹣），E（2，0），F（0，）中，⊙O的半角關聯點是　 　；

（2）直線l：交x軸于點M，交y軸于點N，若直線l上的點P（m，n）是⊙O的半角關聯點，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）D，E；（2）≤m≤0.

【解析】

（1）由題意可知在圓上存在點A使∠ADO＝30°和∠AEO＝30°；

（2）根據解析式求出M與N的坐標，以O為圓心，ON長為半徑畫圓，交直線MN 于點G，可得m≤0；設小圓⊙O與y軸負半軸的交點為H，連接OG，HG；由邊角關系確定△OGN是等邊三角形，可知GH⊥y軸，點G的縱坐標為﹣1，代入，可得，橫坐標為 ，結合圖形即可求解；

（1）由題意可知在圓上存在點A使∠ADO＝30°和∠AEO＝30°，

∴D，E是，⊙O的半角關聯點，

故答案為D，E；

（2）由直線解析式可直接求得

，

以O為圓心，ON長為半徑畫圓，交直線MN 于點G，

可得m≤0，

設小圓⊙O與y軸負半軸的交點為H，

連接OG，HG∵M（，0），N（0，-2）

∴OM＝，ON＝2，

tan∠OMN＝

∴∠OMN＝30°，∠ONM＝60°

∴△OGN是等邊三角形

∴GH⊥y軸，

∴點G的縱坐標為﹣1，代入，

可得，橫坐標為，

∴m≥，

∴≤m≤0；