Question

【題目】如圖,在直角坐標系中，拋物線經過點A(0，4)，B(1，0)，C(5，0)，其對稱軸與x軸相交于點M.

(1)求拋物線的解析式和對稱軸；

(2)在拋物線的對稱軸上是否存在一點P，使△PAB的周長最小？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；

(3)連接AC，在直線AC的下方的拋物線上，是否存在一點N，使△NAC的面積最大？若存在，請求出點N的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2－x＋4，x＝3；（2）；（3）N( ，－3).

【解析】

（1）拋物線經過點A（0，4），B（1，0），C（5，0），可利用兩點式法設拋物線的解析式為y=a（x-1）（x-5），代入A（0，4）即可求得函數的解析式，則可求得拋物線的對稱軸；
（2）點A關于對稱軸的對稱點A′的坐標為（6，4），連接BA′交對稱軸于點P，連接AP，此時△PAB的周長最小，可求出直線BA′的解析式，即可得出點P的坐標．
（3）在直線AC的下方的拋物線上存在點N，使△NAC面積最大．設N點的橫坐標為t，此時點N（t，t2-t+4）（0＜t＜5），再求得直線AC的解析式，即可求得NG的長與△ACN的面積，由二次函數最大值的問題即可求得答案．

解：(1) 根據已知條件可設拋物線的解析式為y=a（x-1）（x-5），
把點A（0，4）代入上式得：a=，∴y=（x-1）（x-5）=x2-x+4=（x-3）2-，
∴拋物線的對稱軸是：直線x=3；

即:拋物線的解析式為y＝x2－x＋4，拋物線的對稱軸是x＝3；

(2)P點坐標為(3，)．理由如下：

∵點A（0，4），拋物線的對稱軸是直線x=3，
∴點A關于對稱軸的對稱點A′的坐標為（6，4）
如圖1，連接BA′交對稱軸于點P，連接AP，此時△PAB的周長最�。�

設直線BA′的解析式為y=kx+b，
把A′（6，4），B（1，0）代入得

解得

∴y=x-,

∵點P的橫坐標為3，

∴y=×3-=

∴；

(3)在直線AC的下方的拋物線上存在點N，使△NAC面積最大．設N點的橫坐標為t，此時點N(t， t2－t＋4)(0＜t＜5)，如圖，過點N作NG∥y軸交AC于G；作AD⊥NG于D，由點A(0，4)和點C(5，0)可求出直線AC的解析式為y＝－x＋4，把x＝t代入得y＝－t＋4，則G(t，－＋4)，此時NG＝－t＋4－(t2－t＋4)＝－t2＋4t，

∵AD＋CF＝CO＝5，

∴S△ACN＝S△ANG＋S△CGN＝AD×NG＋NG×CF＝NG·OC＝×(－t2＋4t)×5＝－2t2＋10t＝－2(t－)2＋，

∴當t＝時，△CAN面積的最大值為，由t＝，得y＝t2－t＋4＝－3，∴N(，－3)．