Question

【題目】如圖，在矩形中，是邊的中點，沿對折矩形，使點落在處，折痕為，連接并延長交于點．

（1）求證：四邊形為平行四邊形；

（2）若矩形的邊＝，＝，求的面積．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）由折疊的性質得到＝，與垂直，根據為中點，得到＝＝，利用三角形內一邊上的中線等于這條邊的一半的三角形為直角三角形，得到為，進而得到與平行，再由與平行，利用兩對邊平行的四邊形為平行四邊形即可得證；

（2）過作，在直角三角形中，利用勾股定理求出的長，利用面積法求出的長，根據＝求出的長，在直角三角形中，利用勾股定理求出的長，根據求出的長，由與平行，得到三角形與三角形相似，由相似得比例求出的長，再由＝＝，求出三角形面積即可．

解：（1）由折疊得到＝，，

∵為的中點，

∴＝＝，

∴，

∴，

∵四邊形是矩形，

∴，

∴四邊形為平行四邊形；

（2）過作，交于點，

在中，＝，＝，

根據勾股定理得：，

∵，

∴，

由折疊得：＝，

在中，＝，，

根據勾股定理得：，

∵四邊形為平行四邊形，

∴＝＝，＝＝，

∴＝，

∵，

∴，即，

解得：，

則．