Question

如圖，已知用尺規將三等分一個任意角是不可能的，但對于一些特殊角則可以利用作等邊三角形的方法三等分，請用直尺和圓規把平角CDE和∠AOB=45°這兩個角三等分（尺規作圖，要求保留作圖痕跡，不必寫出作法）．

Answer 1

解：如圖所示，射線DM、DN為平角CDE的三等分線；

如圖所示，射線OP、OQ為∠AOB=45°三等分線．
分析：根據平角的三分之一等于60°，所以以點D為頂點，分別作一邊在CD、DE上的等邊三角形，則射線DM、DN即為所求作的平角CDE的三等分線；
根據45°角的三分之一等于15°，以點O為圓心，以任意長為半徑畫弧與OB相交于點F，再作FH=OF，然后以點F、H為圓心，以FH長為半徑畫弧相交于點P，連接OP，根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半30°角所對的直角邊等于斜邊的一半可得∠POH=30°，從而得到∠AOP=15°，再作出∠POH的角平分線即可把∠AOB=45°三等分．
點評：本題考查了復雜作圖，根據角度的三分之一的度數，利用等邊三角形作出60°的角，利用直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半的性質作出30°的角是解題的關鍵．