Question

【題目】在正方形中，，對角線交于點,點在線段上，且,將射線繞點逆時針轉，交于點, 則的長為____________．

Answer 1

【答案】或

【解析】

根據正方形的性質得到AC=6，AC⊥BD，求得AO=BO=，CP=4，根據勾股定理得到PB=，根據相似三角形的性質即可得到結論．

解：如圖1，

在正方形ABCD中，AB=6，

∴AC=6，AC⊥BD，
∴AO=BO=AC=3，

∵OP=，

∴CP=4，

在Rt△BPO中，PB=，

∵∠BPF=∠BAP=∠PCF=45°，

∴∠APB=∠PFC=135°-∠FPC，

∴△APB∽△CFP，

∴，即，

∴PF=，

如圖2，

在正方形ABCD中，AB=6，

∴AC=6，AC⊥BD，

∴AO=BO=AC=3，

∵OP=，

∴CP=2，

在Rt△BPO中，PB=，

∵∠BPF=∠BAP=∠PCF=45°，

∴∠APB=∠PFC=135°-∠FPC，

∴△APB∽△CFP，

∴，即，

∴PF=，

綜上所述：PF的長為或，

故答案為：或．