Question

【題目】如圖，直線AC與⊙O相切于點A，點B為⊙O上一點，且OC⊥OB于點O，連接AB交OC于點D．

（1）求證：AC＝CD；

（2）若AC＝3，OB＝4，求OD的長度．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）2

【解析】

（1）由AC是⊙O的切線，得OA⊥AC，結合OD⊥OB，OA＝OB，得∠CDA＝∠DAC，進而得到結論；

（2）利用勾股定理求出OC，即可解決問題．

（1）∵AC是⊙O的切線，

∴OA⊥AC，

∴∠OAC＝90°，即：∠OAD+∠DAC＝90°，

∵OD⊥OB，

∴∠DOB＝90°，

∴∠BDO+∠B＝90°，

∵OA＝OB，

∴∠OAD＝∠B，

∴∠BDO＝∠DAC，

∵∠BDO＝∠CDA，

∴∠CDA＝∠DAC，

∴CD＝CA．

（2）∵在Rt△ACO中，OC＝＝5，

∵CA＝CD＝3，

∴OD＝OC﹣CD＝2．