Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，圓M經過原點O，直線與x軸、y軸分別相交于A，B兩點．

（1）求出A，B兩點的坐標；

（2）若有一拋物線的對稱軸平行于y軸且經過點M，頂點C在圓M上，開口向下，且經過點B，求此拋物線的函數解析式；

（3）設（2）中的拋物線交軸于D、E兩點，在拋物線上是否存在點P，使得S△PDE=S△ABC？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）A（﹣8，0），B（0，﹣6）;（2）；（3）存在．P點坐標為（﹣4+，-1）或（﹣4﹣，-1）或（﹣4+，1）或（﹣4﹣，1）時，使得．

【解析】分析：（1）令已知的直線的解析式中x=0，可求出B點坐標，令y=0，可求出A點坐標；（2）根據A、B的坐標易得到M點坐標，若拋物線的頂點C在⊙M上，那么C點必為拋物線對稱軸與⊙O的交點；根據A、B的坐標可求出AB的長，進而可得到⊙M的半徑及C點的坐標，再用待定系數法求解即可；

（3）在（2）中已經求得了C點坐標，即可得到AC、BC的長；由圓周角定理:

∠ ACB=90°，所以此題可根據兩直角三角形的對應直角邊的不同來求出不同的P點坐標．

本題解析：（1）對于直線，當時， ；當時，

所以A（﹣8，0），B（0，﹣6）；

（2）在Rt△AOB中，AB==10，∵∠AOB=90°，∴AB為⊙M的直徑，

∴點M為AB的中點，M（﹣4，﹣3），∵MC∥y軸，MC=5，∴C（﹣4，2），

設拋物線的解析式為y=a(x+4)+2，

把B（0，﹣6）代入得16a+2=﹣6，解得a= ，

∴拋物線的解析式為 ，即；

（3）存在．

當y=0時， ，解得x，=﹣2，x，=﹣6，

∴D（﹣6，0），E（﹣2，0），

，

設P（t， -6），

∵

∴=20，

即||=1，當=-1，

解得， ，

此時P點坐標為（﹣4+，-1）或（﹣4﹣，-1）；

當時 ，解得=﹣4+， =﹣4﹣；

此時P點坐標為（﹣4+，1）或（﹣4﹣，1）．

綜上所述，P點坐標為（﹣4+，-1）或（﹣4﹣，-1）或（﹣4+，1）或（﹣4﹣，1）時，使得．