Question

已知如圖，一次函數的圖象經過第一，二，三象限，且與反比例函數的圖象交于A，B兩點，與y軸交于點C，OB=，tan∠DOB=
（1）求反比例函數的解析式；
（2）設點A的橫坐標為m，△ABO的面積為S，求S與m的函數關系式，并寫出自變量m的取值范圍；
（3）當△OCD的面積等于，試判斷過A、B兩點的拋物線在x軸上截得的線段長能否等于3？如果能，求此時拋物線的解析式；如果不能，請說明理由．

Answer 1

解：（1）過點A作AG⊥x軸于點G，過點B作BH⊥x軸于點H，在Rt△OHB中，
∵tan∠HOB==，
∴HO=3BH，
由勾股定理得，BH²+HO²=OB²，
又∵OB=，
∴BH²+（3BH）²=（）²，
∵BH＞0，
∴BH=1，HO=3，
∴點B（-3，-1），
設反比例函數的解析式為y=（k₁≠0），
∵點B在反比例函數的圖象上，∴k₁=3，
∴反比例函數的解析式為y=．

（2）設直線AB的解析式為y=k₂x+b（k₂≠0），由點A在第一象限，得m＞0，
又有點A在函數y=的圖象上，可求得點A的縱坐標為（m，）．
因為tan∠DOB=，OB=，
設BH=a，則HO=3a，
于是根據勾股定理，a²+9a²=10，
解得a=±1，
則B點坐標為（-3，-1）．
把A、B兩點坐標分別代入解析式得：，
解得k=，b=，
函數解析式為y=x+，
得C（0，）．
于是S=（m+3）×=，
于是0＜m＜3．

（3）A、B兩點的拋物線在x軸上截得的線段長能等于3，
設過B（-3，-1），A（1，3）的拋物線解析式為y=ax²+bx+c，
可得，
解得b=2a+1，c=2-3a，
又因為A、B兩點的拋物線在x軸上截得的線段長等于3，
所以設A（x₁，0），（x₂，0），x₂＞x₁，
可得x₂-x₁=3，兩邊平方得（x₂+x₁）²-4x₁x₂=9，
根據根與系數的關系（-）²-4•=9，將c=2-3a，b=2a+1代入，
得16a²-13a+1=0，
a=，
當a=時，b=2a+1=，c=；
當a=時，b=，c=
即A、B兩點的拋物線在x軸上截得的線段長能等于3，
函數的解析式是y=x²+x+或y=x²+x+．
分析：（1）根據tan∠DOB=可知Rt△OHB中兩直角邊的比，又因為OB=10，所以可根據勾股定理求出點B的坐標，進而求出解析式；
（2）已知A點橫坐標m，代入反比例函數解析式，可求出A點坐標，根據OB=和tan∠DOB=，可利用勾股定理求出B點坐標；
把A、B兩點坐標分別代入一次函數y=k₂x+b的解析式，解方程組得到k₂和b的值（用m表示），然后根據一次函數的性質，求出C點坐標，即得出OC的長，再求出以OC為底邊，以A、B兩點橫坐標的絕對值為高的兩個三角形△OCA和△COB的面積之和；
（3）設出拋物線解析式，將B（-3，-1），A（1，3）分別代入解析式，求出b的值以及a、c的關系式，再根據根與系數的關系解答．
點評：此題將一次函數、二次函數、反比例函數結合起來，有很強的綜合性．根據圖象交點坐標能求出相應線段的長，轉化為一元二次方程根與系數的關系解答．