Question

【題目】如圖，P1、P2是反比例函數y= （k＞0）在第一象限圖象上的兩點，點A1的坐標為（4，0）．若△P1OA1與△P2A1A2均為等腰直角三角形，其中點P1、P2為直角頂點．

（1）求反比例函數的解析式．
（2）①求P2的坐標．
②根據圖象直接寫出在第一象限內當x滿足什么條件時，經過點P1、P2的一次函數的函數值大于反比例函數y= 的函數值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：過點P1作P1B⊥x軸，垂足為B

∵點A1的坐標為（4，0），△P1OA1為等腰直角三角形

∴OB=2，P1B= OA1=2

∴P1的坐標為（2，2）

將P1的坐標代入反比例函數y= （k＞0），得k=2×2=4

∴反比例函數的解析式為

（2）

解：

①過點P2作P2C⊥x軸，垂足為C

∵△P2A1A2為等腰直角三角形

∴P2C=A1C

設P2C=A1C=a，則P2的坐標為（4+a，a）

將P2的坐標代入反比例函數的解析式為 ，得

a= ，解得a1= ，a2= （舍去）

∴P2的坐標為（ ， ）

②在第一象限內，當2＜x＜2+ 時，一次函數的函數值大于反比例函數的值

【解析】（1）先根據點A1的坐標為（4，0），△P1OA1為等腰直角三角形，求得P1的坐標，再代入反比例函數求解；（2）先根據△P2A1A2為等腰直角三角形，將P2的坐標設為（4+a，a），并代入反比例函數求得a的值，得到P2的坐標；再根據P1的橫坐標和P2的橫坐標，判斷x的取值范圍．本題主要考查了反比例函數與一次函數的交點問題，解決問題的關鍵是根據等腰直角三角形的性質求得點P1和P2的坐標．等腰直角三角形是一種特殊的三角形，具備等腰三角形和直角三角形的所有性質．