Question

（2006•徐州）如圖，在平面直角坐標系中，直線y=-2x+12與x軸交于點A，與y軸交于點B，與直線y=x交于點C．
（1）求點C的坐標；
（2）求△OAC的面積；
（3）若P為線段OA（不含O、A兩點）上的一個動點，過點P作PD∥AB交直線OC于點D，連接PC．設OP=t，△PDC的面積為S，求S與t之間的函數關系式；S是否存在最大值？如果存在，請求出來；如果不存在，請簡要說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）因為直線y=-2x+12與直線y=x交于點C，所以令x=y，即可得到x=-2x+12，解之即可求出點A的坐標；
（2）因為直線y=-2x+12與x軸交于點A，所以令y=0，即可求出A的坐標，也可求出OA的值，利用S_△OAC=×OA×4即可求出三角形的面積；
（3）可分別過點C、D作OA的垂線，設垂足分別為M、N點，因為PD∥AC，所以，即=，所以DN=t，又因S=S_△OAC-S_△OPD-S_△PAC，將有關數據代入即可求得S與t之間的函數關系式，利用所求的二次函數解析式，結合t的取值即可得到當t=3時，S有最大值，最大值為3．
解答：解：（1）∵直線y=-2x+12與直線y=x交于點C，
∴x=-2x+12，
解得x=4，（1分）

所以y=4，所以C點的坐標為（4，4）．（2分）

（2）由-2x+12=0得x=6，（3分）
所以S_△OAC=×6×4=12．（4分）

（3）如圖，分別過點C、D作OA的垂線，垂足分別為M、N點，
因為PD∥AC，所以，（5分）
即=，所以DN=t．（6分）
所以S=S_△OAC-S_△OPD-S_△PAC（7分）
=12-OP•DN-PA•CM=12-t•t-（6-t）•4=-t²+2t=-（t-3）²+3．（8分）
當t=3時，S有最大值，最大值為3．（10分）
點評：本題主要考查了利用待定系數法求函數解析式和利用函數求最值的問題，而解決這類問題常用到分類討論、數形結合、方程和轉化等數學思想方法．