Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，⊙O過點B、C，且交邊AB、AC于點E、F，已知∠A=∠ABO，連接OE、OF、OB．
（1）求證：四邊形AEOF為菱形；
（2）若BO平分∠ABC，求證：BE=BC．

Answer 1

證明：（1）連接AO并延長AO交BC于M過O作OQ⊥AB于Q，OR⊥AC于R，連接OC，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠ABO=∠ACO，
∵∠BAC=∠ABO，
∴∠BAC=∠ABO=∠ACO，
∵OE=OB，OC=OF，
∴∠ABO=∠OEB，∠ACO=∠OFC，
∴∠BAC=∠OEB=∠OFC，
∴AE∥OF，AF∥OE，
∴四邊形AEOF是平行四邊形，
∵OE=OF，
∴平行四邊形AEOF為菱形．

（2）∵圓O過B、C，
∴O在BC的垂直平分線上，
∵AB=AC，
∴AM⊥BC，
∵BO平分∠ABC，OQ⊥AB，
∴OQ=OM，
∴由勾股定理得：BM=BQ，
由垂徑定理得：BE=BC．
分析：（1）連接AO并延長AO交BC于M過O作OQ⊥AB于Q，連接OC，根據等腰三角形的性質證出∠BAC=∠ABO=∠ACO，推出∠BAC=∠OEB=∠OFC，得出AE∥OF，AF∥OE，再OE=OF，即可推出答案；
（2）根據角平分線定理求出OQ=OM，根據勾股定理求出BQ=BM，根據垂徑定理即可推出結論．
點評：本題主要考查對勾股定理，等腰三角形的判定，菱形的判定，垂徑定理，圓的認識，角平分線的性質，平行線的性質和判定等知識點的理解和掌握，能綜合運用這些性質進行推理是證此題的關鍵．