【題目】已知△ABC,AB=AC=5,BC=8,∠PDQ的頂點D在BC邊上,DP交AB邊于點E,DQ交AB邊于點O且交CA的延長線于點F(點F與點A不重合),設∠PDQ=∠B,BD=3.
(1)求證:△BDE∽△CFD;
(2)設BE=x,OA=y,求y關于x的函數關系式,并寫出定義域;
(3)當△AOF是等腰三角形時,求BE的長.
【答案】
(1)
解:∵AB=AC,
∴∠B=∠C,
∵∠EDC=∠B+∠BED,
∴∠FDC+∠EDO=∠B+∠BED,
∵∠EDO=∠B,
∴∠BED=∠EDC,
∵∠B=∠C,
∴△BDE∽△CFD
(2)
解:過點D作DM∥AB交AC于M(如圖1中).
∵△BDE∽△CFD,
∴ ,∵BC=8,BD=3,BE=x,
∴ ,
∴FC= ,
∵DM∥AB,
∴ ,即
=
,
∴DM= ,
∵DM∥AB,
∴∠B=∠MDC,
∴∠MDC=∠C,
∴CM=DM= ,FM=
﹣
,
∵DM∥AB,
∴ =
,即
=
,
∴y= (0<x<3)
(3)
解:①當AO=AF時,
由(2)可知AO=y= ,AF=FC﹣AC=
﹣5,
∴ =
﹣5,解得x=
.
∴BE=
②當FO=FA時,易知DO=AM= ,作DH⊥AB于H(如圖2中),
BH=BDcos∠B=3× =
,
DH=BDsin∠B=3× =
,
∴HO= =
,
∴OA=AB﹣BH﹣HO= ,
由(2)可知y= ,即
=
,解得x=
,
∴BE= .
③當OA=OF時,設DP與CA的延長線交于點N(如圖3中).
∴∠OAF=∠OFA,∠B=∠C=∠ANE,
由△ABC≌△CDN,可得CN=BC=8,ND=5,
由△BDE≌△NAE,可得NE=BE=x,ED=5﹣x,
作EG⊥BC于G,則BG= x,EG=
x,
∴GD= ,
∴BG+GD= x+
=3,
∴x= >3(舍棄),
綜上所述,當△OAF是等腰三角形時,BE= 或
【解析】(1)根據兩角對應相等兩三角形相似即可證明.(2)過點D作DM∥AB交AC于M(如圖1中).由△BDE∽△CFD,得 ,推出FC=
,由DM∥AB,得
,推出DM=
,由DM∥AB,推出∠B=∠MDC,∠MDC=∠C,CM=DM=
,FM=
﹣
,于DM∥AB,得
,代入化簡即可.(3)分三種情形討論①當AO=AF時,②當FO=FA時,③當OA=OF時,分別計算即可.
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【題目】去年6月某日自治區部分市、縣的最高氣溫(℃)如下表:
區縣 | 吐魯番 | 塔城 | 和田 | 伊寧 | 庫爾勒 | 阿克蘇 | 昌吉 | 呼圖壁 | 鄯善 | 哈密 |
氣溫(℃) | 33 | 32 | 32 | 30 | 30 | 29 | 29 | 31 | 30 | 28 |
則這10個市、縣該日最高氣溫的眾數和中位數分別是( )
A.32,32
B.32,30
C.30,30
D.30,32
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【題目】如圖所示,Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,以B為圓心,半徑為3的⊙O沿BC方向以每秒1個單位的速度平移,當⊙O運動到與直線相交于點C時(點O在BC上),⊙O停止運動.
(1) (2) (3)
(1)當運動停止時,試判斷直線AB與⊙O的位置關系,并證明你的結論;
(2)在平移過程中,若⊙O與AB相切于點D,連接CD , 求△ACD的面積;
(3)在平移過程中,若⊙O經過AB的中點G時, E、F為OC上的兩個動點,且EF=1.6,當四邊形AGEF的周長最小時,試求OE的長度.
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【題目】在平面直角坐標系xOy中,已知定點A(1,0)和B(0,1).
(1)如圖1,若動點C在x軸上運動,則使△ABC為等腰三角形的點C有幾個?
(2)如圖2,過點A,B向過原點的直線l作垂線,垂足分別為M、N,試判斷線段AM、BN、MN之間的數量關系,并說明理由.
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【題目】把一張矩形紙片ABC的按如圖方式折疊,使頂點B落在邊AD上(記為點B′),點A落在點A′處,折痕分別與邊AD、BC交于點E、F.
(1)試在圖中連接BE,求證:四邊形BFB′E是菱形;
(2)若AB=8,BC=16,求線段BF長能取到的整數.
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【題目】如圖,點A(a,1)、B(﹣1,b)都在雙曲線y=﹣ 上,點P、Q分別是x軸、y軸上的動點,當四邊形PABQ的周長取最小值時,PQ所在直線的解析式是( )
A.y=x
B.y=x+1
C.y=x+2
D.y=x+3
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【題目】如圖,在平面直角坐標系xOy中,一次函數的圖象與正比例函數
的圖象交于點A(m,4).
(1)求m、n的值;
(2)設一次函數的圖象與x軸交于點B,求△AOB的面積;
(3)直接寫出使函數的值小于函數
的值的自變量x的取值范圍.
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【題目】一個尋寶游戲的尋寶通道如圖1所示,通道由在同一平面內的AB,BC,CA,OA,OB,OC組成.為記錄尋寶者的行進路線,在BC的中點M處放置了一臺定位儀器.設尋寶者行進的時間為x,尋寶者與定位儀器之間的距離為y,若尋寶者勻速行進,且表示y與x的函數關系的圖象大致如圖2所示,則尋寶者的行進路線可能為( 。
A.A→O→B
B.B→A→C
C.B→O→C
D.C→B→O
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