Question

【題目】如圖1所示，在正方形ABCD和正方形中，，連結．

（1）問題發現：_________；

（2）拓展探究：將正方形繞點A逆時針旋轉，記旋轉角為，連結，試判斷：當≤時，的值有無變化?請僅就圖2中的情形給出你的證明；

（3）問題解決：請直接寫出在旋轉過程中，當三點共線時的長．

Answer 1

【答案】（1）；（2）無變化，理由見解析；（3）的長為或

【解析】

（1）延長交BC于點E，到等腰直角三角形，根據兩直角邊相等可得出結果

（2） 先根據兩個等腰直角三角形相似得出，根據這個條件可以得到△∽△，就可以得出結論。

（3）共線分兩種情況，根據旋轉角度的不同進行分類討論。

（1）；

提示：延長交BC于點E，如圖3所示．

則，△為等腰直角三角形

∴

∴．

（2）無變化；

理由如下：連結AC、，如圖4所示．

∵△ABC和△均為等腰直角三角形

∴

∵

∴

∴△∽△

∴

∴當≤＜360°時，的值無變化；

（3）的長為或．

提示：分為兩種情況：

①如圖5所示，連結AC．

在Rt△中，由勾股定理得：

∴

∵

∴；

②如圖6所示，

此時

∵

∴．

綜上所述，的長為或．