Question

如圖，⊙O與⊙O₁相交于A、B兩點，點O在⊙On上，⊙On的弦OC交AB于點D．
（1）求證：OA²=OC•OD；
（2）如果AC+BC=

3

OC，⊙O的半徑為r，求證：AB=

3

r．

Answer 1

分析：（1）欲證OA²=OC•OD，通過證明△AOC∽△DOA可以得出；
（2）因為AC+BC=

3

OC，⊙O的半徑為r，欲證AB=

3

r，只需證明（AC+BC）：OC=AB：OA；通過證明△AOC∽△DOA，△OBD∽△OCB，得出比例形式相加，即可得出．

解答：證明：（1）連接OB．
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA．
∵∠OCA=∠OBA，
∴∠OAB=∠OCA．
∵∠AOC=∠DOA，
∴△AOC∽△DOA．
∴

OA

OD

=

OC

OA

，
∴OA²=OC•OD．

（2）∵△AOC∽△DOA，
∴

AC

OC

=

DA

OA

．
同理可得，

BC

OC

=

DB

OB

．
∴

AC

OC

+

BC

OC

=

DA

OA

+

DB

OB

，
即

AC+BC

OC

=

AB

OA

．
∵AC+BC=

3

OC，OA=r，
∴AB=

3

r．

點評：本題考查了相似三角形的性質．特別注意：第（2）小題構思巧妙，解答此類題關鍵是綜合兩個相似比，得出結論．