Question

如圖，在邊長為8的正方形ABCD中，點O為AD上一動點(4＜OA＜8)，以O為圓心，OA的長為半徑的圓交邊CD于點M，連接OM，過點M作⊙O的切線交邊BC于N．

(1)求證：△ODM∽△MCN；

(2)設DM＝x，求OA的長(用含x的代數式表示)；

(3)在點O的運動過程中，設△CMN的周長為P，試用含x的代數式表示P，你能發現怎樣的結論？

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)∵MN切⊙O于點M，∴　　1分 　　∵ 　　∴　　2分 　　又∵∴△∽△，　　3分 　　(2)在Rt△中，，設； 　　∴，　　4分 　　由勾股定理得：，　　5分 　　∴，∴；　　6分 　　(3)解法一：∵，又 　　且有△∽△，∴，∴代入得到；　　7分 　　同理，∴代入得到；　　8分 　　∴△CMN的周長為P＝ 　　．　　9分 　　發現：在點O的運動過程中，△CMN的周長P始終為16，是一個定值．　　10分 　　解法二：在Rt△中，， 　　設△的周長＝；　　7分 　　而△∽△，且相似比；　　8分 　　∵，∴△的周長為P＝．　　9分 　　發現：在點O的運動過程中，△CMN的周長P始終為16，是一個定值．　　10分