Question

已知：將函數的圖象向上平移2個單位，得到一個新的函數圖象．
（1）寫出這個新的函數的解析式；
（2）若平移前后的這兩個函數圖象分別與y軸交于O，A兩點，與直線交于C，B兩點．試判斷以A，B，C，O四點為頂點四邊形形狀，并說明理由；
（3）若（2）中的四邊形（不包括邊界）始終覆蓋著二次函數的圖象一部分，求滿足條件的實數b的取值范圍．

Answer 1

解：（1）y=x+2．

（2）四邊形AOCB為菱形；理由如下：
由題意可得：AB∥CO，BC∥AO，AO=2，
∴四邊形AOCB為平行四邊形，易得A（0，2），B（-，1）；
由勾股定理可得：AB=2，
∴AB=AO，故平行四邊形AOCB是菱形．


（3）二次函數y=x²-2bx+b²+化為頂點式為：y=（x-b）²+，
∴拋物線頂點在直線y=上移動；
假設四邊形的邊界可以覆蓋到二次函數，則B點和A點分別是二次函數與四邊形接觸的邊界點；
將B（-，1）代入二次函數，
解得b=--，b=-+（不合題意，舍去）；
將A（0，2）代入二次函數，
解得b=，b=-（不合題意，舍去）；
所以實數b的取值范圍：--＜b＜．
分析：（1）根據“上加下減”的平移規律即可求得平移后的直線解析式．
（2）根據（1）題所得直線解析式，可求得A點坐標；易求得B、C的坐標，由于四邊形OABC的對邊都平行，因此四邊形OABC首先是個平行四邊形，根據A、B的坐標可求得AB=2=OA，由此可證得四邊形OABC是菱形．
（3）將所給的拋物線解析式化為頂點式，可得：y=（x-b）²+，由于b值不確定，因此該函數的頂點在直線y=上左右移動；求四邊形覆蓋二次函數時b的取值范圍，可考慮兩種情況：
①當拋物線對稱軸右側圖象經過點B時，b的值；
②當拋物線對稱軸左側圖象經過點A時，b的值；
聯立上述兩種情況下b的取值即可求得實數b的取值范圍．
點評：此題主要考查了函數圖象的平移、平行四邊形及菱形的判定、函數圖象上點的坐標意義等知識，（3）題中，能夠正確的判斷出拋物線的移動范圍是解決問題的關鍵．