Question

【題目】給出如下規定：兩個圖形G1和G2 ， 點P為G1上任一點，點Q為G2上任一點，如果線段PQ的長度存在最小值，就稱該最小值為兩個圖形G1和G2之間的距離．在平面直角坐標系xOy中，O為坐標原點．
（1）點A的坐標為A（1，0），則點B（2，3）和射線OA之間的距離為 ， 點C（﹣2，3）和射線OA之間的距離為；
（2）如果直線y=x+1和雙曲線y= 之間的距離為 ，那么k=；（可在圖1中進行研究）

（3）點E的坐標為（1， ），將射線OE繞原點O順時針旋轉120°，得到射線OF，在坐標平面內所有和射線OE，OF之間的距離相等的點所組成的圖形記為圖形M．
①請在圖2中畫出圖形M，并描述圖形M的組成部分；（若涉及平面中某個區域時可以用陰影表示）．
②將射線OE，OF組成的圖形記為圖形W，直線y=﹣2x﹣4與圖形M的公共部分記為圖形N，請求出圖形W和圖形N之間的距離．

Answer 1

【答案】
（1）3；
（2）﹣4
（3）

解：①如圖，x軸正半軸，∠GOH的邊及其內部的所有點（OH、OG分別與OE、OF垂直），

；

②由①知OH所在直線解析式為y=﹣ x，OG所在直線解析式為y= x，

由 得 ，即點M（﹣ ， ），

由 得： ，即點N（﹣ ， ），

則﹣ ≤x≤﹣ ，

圖形N（即線段MN）上點的坐標可設為（x，﹣2x﹣4），

即圖形W與圖形N之間的距離為d，

d=

=

=

∴當x=﹣ 時，d的最小值為 = ，

即圖形W和圖形N之間的距離 ．

【解析】解：（1）點（2，3）和射線OA之間的距離為3，點（﹣2，3）和射線OA之間的距離為 = ，
故答案分別為：3， ；
·（2）∵直線y=x+1和雙曲線y= 之間的距離為 ，
∴k＜0（否則直線y=x+1和雙曲線y= 相交，它們之間的距離為0）．
過點O作直線y=x+1的垂線y=﹣x，與雙曲線y= 交于點E、F，過點E作EG⊥x軸，如圖1，

由 得 ，即點F（﹣ ， ），
則OF= = ，
∴OE=OF+EF=2 ，
在Rt△OEG中，∠EOG=∠OEG=45°，OE=2 ，
則有OG=EG= OE=2，
∴點E的坐標為（﹣2，2），
∴k=﹣2×2=﹣4，
故答案為：﹣4；
（1）只需根據新定義即可解決問題；（2）過點O作直線y=x+1的垂線，與雙曲線y= 交于點E、F，過點E作EG⊥x軸，如圖1，根據新定義可得直線y=﹣x和雙曲線y= 之間的距離就是線段EF的長，如何只需求出點E的坐標，運用待定系數法就可求出k的值；（3）①過點O分別作射線OE、OF的垂線OH、OG，如圖2，根據新定義可得圖形M為x軸的正半軸、∠GOH的邊及其內部所有的點；②設直線y=﹣2x﹣4與射線OH的交點為M，與射線OG的交點為N，先求得M、N的坐標，得出x的范圍，如圖2，圖形N上點的坐標可設為（x，﹣2x﹣4），根據新定義可得圖形W與圖形N之間的距離為d= 的最小值．利用二次函數的增減性求出d= 的最小值，就可解決問題．