Question

【題目】如圖，在長方形ABCD中，點E在BC上，點F在CD上，且滿足BE＝CF＝a，AB＝EC＝b．

（1）判斷△AEF的形狀，并證明你的結論；

（2）請用含a，b的代數式表示△AEF的面積；

（3）當△ABE的面積為24，BC長為14時，求△ADF的面積．

Answer 1

【答案】（1）△AEF是等腰直角三角形，理由詳見解析；（2）（a2+b2）；（3）14．

【解析】

（1）證明△ABE≌△ECF（SAS），得出AE＝EF，∠BAE＝∠CEF，證出∠AEF＝90°，即可得出△AEF是等腰直角三角形；

（2）由勾股定理得出AE2＝AB2+BE2＝a2+b2，由三角形面積公式即可得出答案；

（3）求出ab＝48，由題意得出（a+b）2＝142，求出a2+b2＝100，得出（a﹣b）2＝4，證出b﹣a＝2，由三角形面積公式即可得出答案．

（1）△AEF是等腰直角三角形，理由如下：

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠B＝∠D＝∠C＝90°，AD＝BC＝a+b，

在△ABE和△ECF中， ，

∴△ABE≌△ECF（SAS），

∴AE＝EF，∠BAE＝∠CEF，

∵∠BAE+∠AEB＝90°，

∴∠CEF+∠AEB＝90°，

∴∠AEF＝90°，

∴△AEF是等腰直角三角形；

（2）∵∠B＝90°，BE＝CF＝a，AB＝CE＝b，

∴AE2＝AB2+BE2＝a2+b2，

∴△AEF的面積＝AE×EF＝AE2＝（a2+b2）；

（3）∵△ABE的面積＝24＝ab，

∴ab＝48，

∵BC＝14，

∴a+b＝14，

∴（a+b）2＝142，

∴a2+2ab+b2＝196，

∴a2+b2＝100，

∴a2﹣2ab+b2＝100﹣96＝4，

即（a﹣b）2＝4，

∵CD＞F，

∴b＞a，

∴b﹣a＝2，

∴△ADF的面積＝AD×DF＝BC×（b﹣a）＝×14×2＝14．