Question

如圖①，在平面直角坐標系中，AB、CD都垂直于x軸，垂足為B、D，且AD與BC相交于E點．已知：A（-2，-6），C（1，-3）
（1）求證：E點在y軸上；
（2）如果AB的位置不變，而DC水平向右移動K（K＞0）個單位，此時AD與BC相交于E′點，如圖②，求△AE′C的面積S關于K的函數解析式；
（3）過A、E、E′三點的拋物線中，是否存在一條拋物線，它的頂點在x軸上？若存在，請求出k的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）由題意可求得B（-2，0），點D（1，0），然后利用待定系數法求得直線AD與BC的解析式，求其交點，即可證得E點在y軸上；
（2）由（1）當DC水平向右平移k后，過AD與BC的交點E′作E′F⊥x軸垂足為F．同（1）可得：

E′F

AB

+

E′F

DC

=1，得：E′F=2，又由BA∥DC，可得S_△BCA=S_△BDA，即可求得△AE′C的面積S關于K的函數解析式；
（3）存在．設拋物線的方程y=ax²+bx+c（a≠0）過A（-2，-6），C（1，-3），E（0，-2）三點，利用待定系數法即可求得此二次函數的解析式，注意：題目未告之E（0，-2）是拋物線的頂點．

解答：（1）證明：根據題意得：B（-2，0），點D（1，0），
設直線AD的解析式為：y=kx+b，
∴

-2k+b=-6 k+b=0

，
解得：

k=2 b=-2

，
∴直線AD的解析式為：y=2x-2，
同理可得：直線BC的解析式為：y=-x-2，
∵2x-2=-x-2，
解得：x=0，y=-2，
∴AD與BC的交點E的坐標為（0，-2）；
∴E點在y軸上；

（2）解：由（1）當DC水平向右平移k后，過AD與BC的交點E′作E′F⊥x軸垂足為F．
同（1）可得：

E′F

AB

+

E′F

DC

=1，得：E′F=2，
∵BA∥DC，
∴S_△BCA=S_△BDA，
∴S_△AE′C=S_△BDE′=

1

2

BD•E′F=

1

2

（3+k）×2=3+k，
∴S=3+k為所求函數解析式．

（3）解：存在．
設拋物線的方程y=ax²+bx+c（a≠0）過A（-2，-6），C（1，-3），E（0，-2）三點，
得方程組

4a-2b+c=-6 a+b+c=-3 c=-2

，
解得a=-1，b=0，c=-2，
∴拋物線方程y=-x²-2
（注：題目未告之E（0，-2）是拋物線的頂點）

點評：此題考查了待定系數法求函數的解析式，函數的交點問題，以及三角形面積問題等知識．此題綜合性很強，難度較大，解題的關鍵是方程思想與數形結合思想的應用．