Question

【題目】如圖l，在中，，，于點，是線段上的點（與，不重合），，，連結，，，．

（1）求證：；

（2）如圖2，若將繞點旋轉，使邊在的內部，延長交于點，交于點．

①求證：；

②當為等腰直角三角形，且時，請求出的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①見解析；②

【解析】

（1）通過證明△EAB≌△FAB，即可得到BE=BF；
（2）①首先證明△AEB≌△AFC，由相似三角形的性質可得：∠EBA=∠FCA，進而可證明△AGC∽△KGB；

②根據題意，可分類討論求值即可．

（1）∵AB=AC，AO⊥BC，
∴∠OAC=∠OAB=45°，
∴∠EAB=∠EAF-∠BAF=45°，
∴∠EAB=∠BAF=45°，
在△EAB和△FAB中，

，

∴△EAB≌△FAB（SAS），
∴BE=BF；
（2）①∵∠BAC=90°，∠EAF=90°，
∴∠EAB+∠BAF=∠BAF+∠FAC=90°，
∴∠EAB=∠FAC，
在△AEB和△AFC中，

，

∴△AEB≌△AFC（SAS），
∴∠EBA=∠FCA，
又∵∠KGB=∠AGC，
∴△AGC∽△KGB；
②當∠EBF=90°時，

∵EF=BF，
∴∠FEB=∠EBF=90°（不符合題意），

當∠BEF=90°，且EF=BF時，

∴∠FEB=∠EBF=90°（不符合題意），

當∠EFB=90°，且EF=BF時，如下圖，

∴∠FEB=∠FBE=45°，

∵，，

∴∠AFE=∠AEF=45°，

∴∠AEB=∠AEF+∠FEB=45°+ 45°=90°，

不妨設，則BF= EF=，BE=，

在Rt△ABE中，∠AEB =90°，，BE，

∴，

∴，

綜上，．