Question

【題目】如圖所示，直線交軸于點，交軸于點，且、滿足.

（1）如圖1，請求出、的值以及的度數；

（2）如圖1，若點為的中點，點為軸正半軸上一動點，連接，過作交軸于點，當點在軸正半軸上運動的過程中，的值是否發生改變？如發生改變，求出變化范圍；若不改變，求該式子的值。

（3）如圖2，若點為軸負半軸上一點，連接，過點作于點，交于點，請連接并求出的度數.

Answer 1

【答案】（1），，；（2）S△BDMS△ADN的值不發生改變，S△BDMS△AND=4；（3）∠OHP=45°.

【解析】

（1）由，求出a、b的值，然后得到OA=OB，則△OAB是等腰直角三角形，即可得到的度數；

（2）連接OD，易證△ODM≌△ADN，從而有S△ODM=S△ADN，由此可得 =S△BDM-S△ODM=S△BOD=S△AOB=4；

（3）根據題意，先證明△OAP≌△OBC（ASA），得到OP=OC，過O分別作OM⊥CB于M點，作ON⊥HA于N點，得到△COM≌△PON，得到OM=ON，則HO平分∠CHA，即可得到的度數.

解：（1）∵，

∴，，

∴，，

∴點A為（4，0），點B為（0，），

∴OA=OB=4，

∴△OAB是等腰直角三角形，

∴；

（2）S△BDMS△ADN的值不發生改變，等于4．

理由如下：連接OD，如圖：

∵∠AOB=90°，OA=OB，D為AB的中點，

∴OD⊥AB，∠BOD=∠AOD=45°，OD=DA=BD

∴∠OAD=45°，∠MOD=90°+45°=135°，

∴∠DAN=135°=∠MOD．

∵MD⊥ND即∠MDN=90°，

∴∠MDO=∠NDA=90°∠MDA．

在△ODM與△ADN中，

，

∴△ODM≌△ADN（ASA），

∴S△ODM=S△AND

∴S△BDMS△AND

=S△BDMS△ODM

=S△BOD=S△AOB

=AOBO

=；

（3）如圖：

∵AH⊥BC即∠AHC=90°，∠COB=90°

∴∠HAC+∠ACH=∠OBC+∠OCB=90°，

∴∠HAC=∠OBC．

在△OAP與△OBC中，

，

∴△OAP≌△OBC（ASA），

∴OP=OC=1，

過O分別作OM⊥CB于M點，作ON⊥HA于N點，如圖：

在四邊形OMHN中，∠MON=360°3×90°=90°，

∴∠COM=∠PON=90°∠MOP．

在△COM與△PON中，

，

∴△COM≌△PON（AAS），

∴OM=ON．

∵OM⊥CB，ON⊥HA，

∴HO平分∠CHA，

∴∠OHP=∠CHA=45°.