【題目】如圖,在平面直角坐標系中,點A,C分別在x軸,y軸上,四邊形ABCO為矩形,AB=16,AC=20,點D與點A關于y軸對稱,點E、F分別是線段AD、AC上的動點(點E不與點A、D重合),且∠CEF=∠ACB.
(1)直接寫出BC的長是 ,點D的坐標是 ;
(2)證明:△AEF與△DCE相似;
(3)當△EFC為等腰三角形時,求點E的坐標.
【答案】(1) A(-12,0),D(12,0);(2)證明見解析;(3)點E的坐標為(8,0)或(,0).
【解析】試題分析:(1)利用矩形的性質,在中,利用三角函數求出
的長度,從而得到
點坐標;由點
與點
關于
軸對稱,進而得到
點的坐標;
(2)欲證△AEF與△DCE相似,只需要證明兩個對應角相等即可.如圖①,在△AEF與△DCE中,易知從而問題解決;
(3)當為等腰三角形時,有三種情況,需要分類討論:
①當時,此時△AEF與△DCE相似比為1,則有
②當時,此時△AEF與△DCE相似比為
,則有
③當時,
點與
點重合,這與已知條件矛盾,故此種情況不存在.
試題解析:(1)由題意
∵四邊形ABCO為矩形,AB=16,
∴A點坐標為(12,0),
∵點D與點A關于y軸對稱,
∴D(12,0).
(2)點D與點/span>A關于y軸對稱,∴∠CDE=∠CAO,
∵∠CEF=∠ACB,∠ACB=∠CAO,
∴∠CDE=∠CEF,
又∵∠AEC=∠AEF+∠CEF=∠CDE+∠DCE(三角形外角性質)
∴∠AEF=∠DCE.
則在△AEF與△DCE中,∠CDE=∠CAO,∠AEF=∠DCE,
∴△AEF∽△DCE.
(3)當△EFC為等腰三角形時,有以下三種情況:
①當CE=EF時,
∵△AEF∽△DCE,
∴AE=CD=20,
∴OE=AEOA=2012=8,
∴E(8,0);
②當EF=FC時,如圖②所示,過點F作FM⊥CE于M,則點M為CE中點,
∵△AEF∽△DCE,
即
解得
③當CE=CF時,則有∠CFE=∠CEF,
∵∠CEF=∠ACB=∠CAO,
∴∠CFE=∠CAO,即此時點與
點重合,這與已知條件矛盾.
綜上所述,當△EFC為等腰三角形時,點E的坐標為(8,0)或
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【題目】中國最長鐵路隧道西康鐵路秦嶺一線隧道全長十八點四六千米,為目前中國鐵路隧道長度之首,被稱為”神州第一長隧”.為了安全起見在某段隧道兩旁安置了兩座可旋轉探照燈.如圖1所示,燈A發出的光束從AC開始順時針旋轉至AD便立即回轉,燈B發出的光束從BE開始順時針旋轉至BF便立即回轉,兩燈不停交叉照射巡視.若燈A旋轉的速度是每秒3度,燈B旋轉的速度是每秒2度.已知CD∥EF,且∠BAD=∠BAC,設燈A旋轉的時間為t(單位:秒).
(1)求∠BAD的度數;
(2)若燈B發出的光束先旋轉10秒,燈A發出的光束才開始旋轉,在燈B發出的光束到達BF之前,若兩燈發出的光束互相平行,求燈A旋轉的時間t;
(3)如圖2,若兩燈同時轉動,在燈A發出的光束到達AD之前,若兩燈發出的光束交于點M,過點M作∠AMN交BE于點N,且∠AMN=135°.請探究:∠BAM與∠BMN的數量關系是否發生變化?若不變,請求出其數量關系;若改變,請說明理由.
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】在等邊△ABC中,D是邊AC上一點,連接BD,將△BCD繞點B逆時針旋轉60°,得到△BAE,連接ED,若BC=5,BD=4.則下列四個結論:①AE∥BC;②∠ADE=∠BDC;③△BDE是等邊三角形;④△AED的周長是9.其中正確的結論是__(把你認為正確結論的序號都填上.)
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【題目】有A、B兩種型號臺燈,若購買2臺A型臺燈和6臺B型臺燈共需610元.若購買6臺A型臺燈和2臺B型臺燈共需470元.
(1)求A、B兩種型號臺燈每臺分別多少元?
(2)采購員小紅想采購A、B兩種型號臺燈共30臺,且總費用不超過2200元,則最多能采購B型臺燈多少臺?
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【題目】有一個邊長為m+3的正方形,先將這個正方形兩鄰邊長分別增加1和減少1,得到的長方形①的面積為S1.
(1)試探究該正方形的面積S與S1的差是否是一個常數,如果是,求出這個常數;如果不是,說明理由;
(2)再將這個正方形兩鄰邊長分別增加4和減少2,得到的長方形②的面積為S2.
①試比較S1,S2的大;
②當m為正整數時,若某個圖形的面積介于S1,S2之間(不包括S1,S2)且面積為整數,這樣的整數值有且只有16個,求m的值.
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【題目】某段河流的兩岸是平行的,數學興趣小組在老師帶領下不用涉水過河就測得河的寬度,他們是這樣做的:
①在河流的一條岸邊B點,選對岸正對的一棵樹A;
②沿河岸直走20m有一樹C,繼續前行20m到達D處;
③從D處沿河岸垂直的方向行走,當到達A樹正好被C樹遮擋住的E處停止行走;
④測得DE的長為5米.
求:(1)河的寬度是多少米?
(2)請你證明他們做法的正確性.
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【題目】如圖1,將一副三角板的直角重合放置,其中∠A=30°,∠CDE=45°.
(1)如圖1,求∠EFB的度數;
(2)若三角板ACB的位置保持不動,將三角板CDE繞其直角頂點C順時針方向旋轉.
①當旋轉至如圖2所示位置時,恰好CD∥AB,則∠ECB的度數為 ;
②若將三角板CDE繼續繞點C旋轉,直至回到圖1位置.在這一過程中,是否還會存在△CDE其中一邊與AB平行?如果存在,請你畫出示意圖,并直接寫出相應的∠ECB的大;如果不存在,請說明理由.
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