Question

如圖，拋物線與雙曲線相交于點A、B，且拋物線經過坐標原點，點A的坐標為（－2,2），點B在第四象限內.過點B用直線BC∥x軸，點C為直線BC與拋物線的另一交點，已知直線BC與x軸之間的距離是點B到y軸距離的4倍，記拋物線頂點為E.

（1）求雙曲線和拋物線的解析式；

（2）計算△ABC與△ABE的面積；

（3）在拋物線上是否存在點D，使△ABD的面積等于△ABE的面積的8倍，若存在，請求出點D的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

（1）∵點A（－2,2）在雙曲線上

∴

∴雙曲線的解析式為                                        …………2分

∵直線BC與x軸之間的距離是點B到y軸距離的4倍

∴可設B點的坐標為（m，－4m）（m＞0），代入雙曲線解析式即可得到m=1.

∴拋物線過點A（－2,2）、B（1，－4）、O（0,0）

∴∴

∴拋物線的解析式為.                                  …………4分

（2）∵物線的解析式為.

∴頂點，對稱軸為

∵B（1，－4）

∴，解之得：

∴C（－4，－4）

∴

由A、B兩點坐標為（－2，2）、（1，－4）可求得直線AB的解析式為

設拋物線對稱軸與AB交于點F，則F點的坐標為

∴

∴.                           …………8分

（3）∵

∴

∴當點D與點C重合時，顯然滿足條件

當當點D與點C不重合時，過點C作AB的平行線，其對應的一次函數解析式為

令

解之得：

當時，

∴存在另一點D（3，－18）滿足條件.                              …………12分