Question

已知：如圖，矩形ABCD，AB = 4，∠ACB = 30°．點E從點C出發，沿折線CA—AD以每秒一個單位長度的速度運動，過點E作EF∥CD交BC于點F，同時過點E作EG⊥AC交直線BC于點G，設運動的時間為t，△EFG與△ABC重疊部分的面積為S，當點E運動到點D時停止運動．

（1）當點B與點G重合時，求此時t的值；
（2）直接寫出S與t之間的函數關系式和相應的自變量取值范圍；
（3）當t = 4時，將△EFG繞點E順時針旋轉一個角度（），∠GEF的兩邊分別交矩形的邊于點M，點N．當△MEN為等腰三角形時，求此時△MEN的面積．

Answer 1

（1）6或；（2）；
（3）或．

試題分析：（1）分當點B與點G第一次重合時，當點B與點G第二次重合時，兩種情況結合圖形特征求解；
（2）分，，，，根據相似三角形的性質與三角形、梯形的面積公式求解即可；
（3）分①當旋轉角為30°時，②當旋轉角為75°時，這兩種情況，分別畫出圖形，根據勾股定理及三角形的面積公式求解即可.
（1）當點B與點G第一次重合時，t=6
當點B與點G第二次重合時，t=；
（2）由題意得；
（3）①當旋轉角為30°時，


∴；
②當旋轉角為75°時，
作EH⊥AB于H，MG⊥AE于G

，AH=2
設
則，又∵ GE=EH=
∴
∴
解得：
∴

綜上所述，△MNE的面積為或．
點評：此類問題綜合性強，難度較大，在中考中比較常見，一般作為壓軸題，題目比較典型．