Question

（2013•德陽）如圖，直線y=kx+k（k≠0）與雙曲線y=

n+1

x

交于C、D兩點，與x軸交于點A．
（1）求n的取值范圍和點A的坐標；
（2）過點C作CB⊥y軸，垂足為B，若S_△ABC=4，求雙曲線的解析式；
（3）在（1）（2）的條件下，若AB=

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，求點C和點D的坐標，并根據圖象直接寫出反比例函數的值小于一次函數的值時，自變量x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由反比例函數圖象位于第二、四象限，得到比例系數小于0列出關于n的不等式，求出不等式的解集即可得到n的范圍，對于直線解析式，令y=0求出x的值，確定出A的坐標即可；
（2）設C（a，b），表示出三角形ABC的面積，根據已知的面積列出關于a與b的關系式，利用反比例函數k的幾何意義即可求出k的值，確定出反比例解析式；
（3）由CB垂直于y軸，得到B，C縱坐標相同，即B（0，b），在直角三角形AOB中，由AB與OA的長，利用勾股定理求出OB的長，確定出B坐標，進而確定出C坐標，將C代入直線解析式求出k的值，確定出一次函數解析式，與反比例解析式聯立求出D的坐標，由C，D兩點的橫坐標，利用圖象即可求出反比例函數的值小于一次函數的值時，自變量x的取值范圍．

解答：解：（1）由圖象得：n+1＜0，
解得：n＜-1，
由y=kx+k，令y=0，解得：x=-1，
則A坐標為（-1，0）；

（2）設C（a，b），
∵S_△ABC=

1

2

a•（-b）=4，
∴ab=-8，
∵點C在雙曲線上，
∴y=-

8

x

；

（3）∵CB⊥y軸，∴B（0，b），
在Rt△AOB中，AB=

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，OA=1，
根據勾股定理得：OB=4，
∴B（0，-4），
∴C（2，-4），
將C代入直線y=kx+k中，得：2k+k=-4，即k=-

4

3

，
∴直線AC解析式為y=-

4

3

x-

4

3

，
聯立直線與反比例解析式得：

y=- 4 3 x- 4 3 y=- 8 x

，
解得：

x=-3 y= 8 3

或

x=2 y=-4

，
∴D（-3，

8

3

），
則由圖象可得：當x＜-3或0＜x＜2時，反比例函數的值小于一次函數的值．

點評：此題考查了反比例函數與一次函數的交點問題，利用了待定系數法，熟練掌握待定系數法是解本題的關鍵．