Question

（2012•湖里區一模）如圖，AB是⊙O的弦，OC⊥OA交AB于點C，過點B的直線交OC的延長線于點E，且BE=CE．
（1）求證：直線BE是⊙O的切線；
（2）若tanE=

2

3

，0E=2

13

，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析：（1）連接OB，根據角與角之間的相互關系可得∠OBE=90°，則OB⊥BE，故BE與⊙O相切；
（2）由（1）可知BE是圓的切線，所以OB⊥BE，即三角形OBE是直角三角形，由已知數據解直角三角形即可求出OB的長即圓的半徑．

解答：（1）證明：連接OB；
∵CE=BE，
∴∠2=∠1=∠3，
∵OC⊥OA，
∴∠3+∠A=90°，
∴∠2+∠A=90°；
又∵OA=OB，
∴∠A=∠OBA，
∴∠2+∠OBA=90°，
即∠OBE=90°；
∴BE與⊙O相切；
（2）解：∵BE是圓的切線，
∴OB⊥BE，
∴△OBE是直角三角形，
∵tanE=

2

3

，
∴sinE=

2 13

13

，
∴

OB

OE

=

2 13

13

，
∵0E=2

13

，
∴OB=4，
∴⊙O的半徑是4．

點評：本題考查的是切線的判定和性質以及解直角三角形的運用，要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心和這點（即為半徑），再證垂直即可．