Question

【題目】如圖，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E為AB上一點，以AE為直徑作⊙O與BC相切于點D，連接ED并延長交AC的延長線于點F．

（1）求證：AE＝AF；

（2）若AE＝5，AC＝4，求BE的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）．

【解析】

（1）連接OD，根據切線的性質得到OD⊥BC，根據平行線的判定定理得到OD∥AC，求得∠ODE＝∠F，根據等腰三角形的性質得到∠OED＝∠ODE，等量代換得到∠OED＝∠F，于是得到結論；

（2）根據相似三角形的判定和性質即可得到結論．

證明：（1）連接OD，

∵BC切⊙O于點D，

∴OD⊥BC，

∴∠ODC＝90°，

又∵∠ACB＝90°，

∴OD∥AC，

∴∠ODE＝∠F，

∵OE＝OD，

∴∠OED＝∠ODE，

∴∠OED＝∠F，

∴AE＝AF；

（2）∵OD∥AC

∴△BOD∽△BAC，

∴，

∵AE＝5，AC＝4，

即，

∴BE＝．