Question

【題目】P是△ABC一邊上的一點（P不與A、B、C重合），過點P的一條直線截△ABC，如果截得的三角形與△ABC相似，我們稱這條直線為過點P的△ABC的“相似線”.Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，當點P為AC的中點時，過點P的△ABC的“相似線”最多有幾條？（ ）

A. 1條B. 2條C. 3條D. 4條

Answer 1

【答案】C

【解析】

試題根據相似線的定義，可知截得的三角形與△ABC有一個公共角.①公共角為∠A時，根據相似三角形的判定：當過點P的角等于∠C時，即圖中PD∥BC時，△APD∽△ACB；當過點P的角等于∠B時，即圖中當PF⊥AB時，△APF∽△ABC；②公共角為∠C時，根據相似三角形的判定：當過點P的角等于∠A時，即圖中PE∥AB時，△CPE∽△CAB；當過點P的角等于∠B時，根據∠CPB<60°，可知此時不成立；③公共角為∠B，不成立.

解：①公共角為∠A時：當過點P的角等于∠C時，即圖中PD∥BC時，△APD∽△ACB；當過點P的角等于∠B時，即圖中當PF⊥AB時，△APF∽△ABC；

②公共角為∠C時：當過點P的角等于∠A時，即圖中PE∥AB時，△CPE∽△CAB；當過點P的角等于∠B時，∵∠CPB=∠A+∠ABP，∴PB＞PC，PC=PA，∴PB＞PA，∴∠PBA＜∠A，∴∠CPB＜60°，可知此時不成立；③公共角為∠B，不成立.

綜上最多有3條.

故選C．