Question

如圖（1），等邊△ABC中，D是AB邊上的動點，以CD為一邊，向上作等邊△EDC，連接AE．
（1）△DBC和△EAC會全等嗎？請說明理由．
（2）試說明AE∥BC的理由．
（3）如圖（2），將（1）中的點D運動到邊BA的延長線上，所作仍為等邊三角形．請問是否仍有AE∥BC？請說明理由．
（4）將（1）中的點D運動到邊AB的延長線上，仍向上作等邊△EDC，連接AE．請按要求畫出圖形，請問是否仍有AE∥BC？請說明理由．

Answer 1

分析：（1）通過全等三角形的判定定理SAS證得△DBC≌△EAC；
（2）根據ACE≌△BCD，可得∠ABC=∠CAE=60°，利用等量代換求證∠CAE=∠ACB即可；
（3）同（1）（2）的思路完全相同，也是通過先證明三角形BCD和ACE全等，得出∠EAC=∠B=60°，又由∠ABC=∠ACB=60°，得出這兩條線段之間的內錯角相等，從而得出平行的結論；
（4）同（3）根據△ABC與△EDC是等邊三角形，利用其三邊相等和三角相等的關系，證明△ACE≌△BCD說明．

解答：證明：（1）∵△ABC與△EDC是等邊三角形，
∴∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC，DC=EC．
又∵∠BCD=∠ACB-∠ACD，∠ACE=∠DCE-∠ACD，
∴∠BCD=∠ACE．
∴在△DBC和△EAC中，

DC=EC ∠BCD=∠ACE BC=AC

∴△DBC≌△EAC（SAS）．

（2）∵△DBC≌△EAC，
∴∠DBC=∠EAC=60°，
又∵∠ACB=60°，
∴∠EAC=∠ACB（等量代換），
∴AE∥BC（內錯角相等，兩直線平行）；

（3）結論：AE∥BC
理由：∵△ABC、△EDC為等邊三角形
∴BC=AC，DC=CE，∠BCA=∠DCE=60°
∠BCA+∠ACD=∠DCE+∠ACD，即∠BCD=∠ACE
在△DBC和△EAC中，

DC=EC ∠BCD=∠ACE BC=AC

，
∴△DBC≌△EAC（SAS），
∴∠EAC=∠B=60°
又∵∠ACB=60°
∴∠EAC=∠ACB
∴AE∥BC；

（4）成立；
∵同（3）易證△ACE≌△BCD，
∴∠CAE=∠CBD（全等三角形的對應角相等），
∵∠CBD+∠ABC=180°，∠ABC=60°，
∴∠CAE=∠CBD=120°，
∴∠EAB=∠EAC-CBA=60°，
∴∠EAB=∠ABC=60°，
∴AE∥BC（內錯角相等，兩直線平行）．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質及等邊三角形的性質；本題中（1）（2）問實際是告訴解（3）題的步驟，通過全等三角形來得出角相等是解題的關鍵．